Bienvenue dans ce cours magistral consacré au Développement et Factorisation, deux opérations mathématiques incontournables pour manipuler les expressions algébriques au collège. Prends ton cahier et prépare-toi à transformer les calculs complexes en jeux d’enfants grâce à nos méthodes expliquées pas à pas !

Activité de découverte : Le mystère du grand potager

Imaginons que tu sois un jardinier et que tu possèdes un grand potager rectangulaire. Ce potager est divisé en deux parties : une partie plantée de tomates et une partie plantée de carottes. La largeur commune de tout le potager est de $5$ mètres. La longueur de la partie « tomates » est de $8$ mètres, et la longueur de la partie « carottes » est de $4$ mètres.

Tu souhaites calculer l’aire totale de ton potager (la surface cultivable). Il existe deux méthodes totalement différentes pour trouver le bon résultat.

Méthode 1 : Calculer l’aire globale directement.
Tu peux d’abord calculer la longueur totale du potager en additionnant les deux morceaux : $8 + 4 = 12$ mètres. Ensuite, tu multiplies cette longueur totale par la largeur commune : $5 \times 12 = 60$ mètres carrés. Mathématiquement, on a calculé : $5 \times (8 + 4) = 60$.

Méthode 2 : Calculer chaque aire séparément puis les additionner.
Tu peux calculer l’aire des tomates : $5 \times 8 = 40$ mètres carrés. Ensuite, l’aire des carottes : $5 \times 4 = 20$ mètres carrés. Enfin, tu additionnes les deux résultats : $40 + 20 = 60$ mètres carrés. Mathématiquement, on a calculé : $5 \times 8 + 5 \times 4 = 60$.

Puisque les deux méthodes donnent le même résultat de $60$, on peut écrire l’égalité parfaite suivante : $5 \times (8 + 4) = 5 \times 8 + 5 \times 4$.
Cette simple égalité cache les deux concepts les plus puissants du calcul littéral. Passer de l’écriture de gauche à l’écriture de droite s’appelle le développement. Passer de l’écriture de droite à l’écriture de gauche s’appelle la factorisation !

Je retiens : Le cours sur le Développement

Développer une expression mathématique, c’est transformer un produit (une multiplication) en une somme (une addition) ou en une différence (une soustraction). Le but est de supprimer les parenthèses en « distribuant » un facteur à tous les autres termes.

Pour y parvenir, nous utilisons la règle de la distributivité simple. Si on prend trois nombres relatifs que l’on appelle $k$, $a$ et $b$, la règle s’écrit avec cette formule magique :

$$k \times (a + b) = k \times a + k \times b$$

$$k \times (a – b) = k \times a – k \times b$$

Le nombre $k$ est appelé le facteur. On dit qu’il est « distribué » sur le nombre $a$, puis distribué sur le nombre $b$. Très souvent, en calcul littéral, le signe de multiplication $\times$ est caché devant la parenthèse ou entre une lettre et un nombre. L’expression $k(a+b)$ signifie exactement la même chose que $k \times (a+b)$.

Méthodes et Exemples résolus : Développer une expression

Voyons comment appliquer cette règle étape par étape sur des expressions concrètes pour réussir son développement.

Exemple 1 : Développer avec des nombres positifs.
Développons l’expression $A = 4(x + 5)$.

  • Étape 1 : J’identifie le facteur à distribuer. Ici, le nombre situé juste avant la parenthèse est le $4$.
  • Étape 2 : Je distribue (je multiplie) le $4$ avec le premier terme dans la parenthèse, qui est $x$. Cela donne $4 \times x$, que l’on écrit simplement $4x$.
  • Étape 3 : Je distribue le $4$ avec le deuxième terme, qui est le nombre $+5$. Le calcul est $4 \times 5 = +20$.
  • Étape 4 : J’assemble mes résultats partiels pour écrire l’expression finale. L’expression développée est $A = 4x + 20$.

Exemple 2 : Développer avec un signe soustraction.
Développons l’expression $B = 7(y – 3)$.

  • Étape 1 : Le facteur à l’extérieur est le $7$.
  • Étape 2 : Je multiplie $7$ par le premier terme $y$. J’obtiens $7y$.
  • Étape 3 : Je multiplie $7$ par le deuxième terme qui est $-3$. Je fais bien attention à la règle des signes ! Un nombre positif multiplié par un nombre négatif donne un résultat négatif. Le calcul est $7 \times (-3) = -21$.
  • Étape 4 : Le résultat final assemblé est $B = 7y – 21$.

Exemple 3 : Développer avec une lettre comme facteur et des nombres négatifs.
Développons l’expression $C = -2x(x + 4)$.

  • Étape 1 : Le facteur devant la parenthèse est l’entité complète $-2x$.
  • Étape 2 : Je distribue $-2x$ sur le premier terme $x$. Le calcul est $-2x \times x$. Rappelle-toi que $x \times x$ s’écrit $x^2$ (x au carré). Le résultat est donc $-2x^2$.
  • Étape 3 : Je distribue $-2x$ sur le deuxième terme $+4$. Le calcul est $-2x \times 4$. Je multiplie les nombres entre eux : $-2 \times 4 = -8$. La lettre $x$ reste accrochée. J’obtiens $-8x$.
  • Étape 4 : J’écris l’expression finale développée. $C = -2x^2 – 8x$.

Je retiens : Le cours sur la Double Distributivité

Au collège, l’étude du Développement et Factorisation passe inévitablement par un niveau supérieur : la double distributivité. C’est le cas lorsque l’on doit multiplier deux parenthèses entières l’une avec l’autre.

La règle indique qu’il faut distribuer chaque terme de la première parenthèse sur chaque terme de la deuxième parenthèse. Si nous avons quatre nombres $a$, $b$, $c$ et $d$, la formule s’écrit ainsi :

$$(a + b)(c + d) = a \times c + a \times d + b \times c + b \times d$$

Pour ne jamais oublier de termes, on procède méthodiquement en deux vagues : d’abord on distribue le terme $a$ partout, puis on distribue le terme $b$ partout. Ensuite, on regroupe les termes de la même famille pour « réduire » l’expression finale.

Méthodes et Exemples résolus : La double distributivité

Prenons le temps de décortiquer un calcul complet qui demande beaucoup de concentration.

Exemple : Développer et réduire $D = (x + 3)(x + 5)$

  • Première vague de distribution (avec le terme $x$) :
  • Je multiplie le premier $x$ par le $x$ de l’autre parenthèse : $x \times x = x^2$.
  • Je multiplie le premier $x$ par le $+5$ de l’autre parenthèse : $x \times 5 = +5x$.
  • Seconde vague de distribution (avec le terme $+3$) :
  • Je multiplie le $+3$ par le $x$ de l’autre parenthèse : $3 \times x = +3x$.
  • Je multiplie le $+3$ par le $+5$ de l’autre parenthèse : $3 \times 5 = +15$.
  • Étape d’assemblage : J’écris tous mes morceaux bout à bout. L’expression brute est $D = x^2 + 5x + 3x + 15$.
  • Étape de réduction : Je dois simplifier l’expression en regroupant les termes de même nature. Les $x$ s’additionnent avec les $x$. Le calcul est $5x + 3x = 8x$. Le terme en $x^2$ reste seul, le nombre $15$ reste seul.
  • Résultat final : L’expression développée et réduite est $D = x^2 + 8x + 15$.

Je retiens : Le cours sur la Factorisation

La factorisation est l’opération rigoureusement inverse du développement. Factoriser une expression mathématique, c’est transformer une somme (addition) ou une différence (soustraction) pour en faire un produit (une multiplication avec des parenthèses).

Pour réussir une factorisation, la mission principale de l’élève est de jouer au détective et de trouver le facteur commun. C’est l’élément (un nombre, une lettre, ou les deux) qui est présent (multiplié) dans tous les termes de l’expression.

La formule s’écrit à l’envers de la distributivité :

$$k \times a + k \times b = k \times (a + b)$$

$$k \times a – k \times b = k \times (a – b)$$

Ici, la lettre $k$ représente le célèbre facteur commun qu’il faut repérer et extraire pour le placer devant la parenthèse.

Méthodes et Exemples résolus : Factoriser une expression

La recherche du facteur commun peut être immédiate si le nombre est bien visible, ou demander un petit effort mental s’il est caché dans les tables de multiplication.

Exemple 1 : Le facteur commun est très visible.
Factorisons l’expression $E = 5x + 5y$.

  • Étape 1 : J’observe les deux termes de l’expression. Le premier terme est $5x$ (ce qui signifie $5 \times x$). Le deuxième terme est $5y$ (ce qui signifie $5 \times y$).
  • Étape 2 : J’identifie le facteur commun. Le nombre $5$ est clairement multiplié des deux côtés. Le facteur commun $k$ est donc $5$.
  • Étape 3 : J’extrais le nombre $5$ et je le place au tout début du calcul, suivi d’une parenthèse ouvrante : $5( \dots$
  • Étape 4 : À l’intérieur de la parenthèse, je recopie exactement ce qu’il reste quand j’ai enlevé le $5$. Il reste le $x$, le signe $+$, et le $y$. La parenthèse devient $(x + y)$.
  • Étape 5 : J’assemble. L’expression factorisée est $E = 5(x + y)$.

Exemple 2 : Le facteur commun est caché.
Factorisons l’expression $F = 4x + 24$.

  • Étape 1 : Je regarde les deux termes. $4x$ et $24$. À première vue, il n’y a pas de lettre $x$ des deux côtés, et les nombres sont différents. Le facteur commun est caché !
  • Étape 2 : Je fouille dans mes tables de multiplication. Je sais que $24$ est dans la table de $4$. En effet, $24 = 4 \times 6$.
  • Étape 3 : Je réécris l’expression en faisant apparaître clairement le facteur caché. J’écris $F = 4 \times x + 4 \times 6$.
  • Étape 4 : Maintenant, le facteur commun $4$ est évident. Je l’extrais devant une parenthèse.
  • Étape 5 : Dans la parenthèse, j’écris ce qu’il reste, soit le $x$, le signe $+$, et le $6$. L’expression finale factorisée est $F = 4(x + 6)$.

Exemple 3 : Le facteur commun est une lettre.
Factorisons l’expression $G = x^2 + 7x$.

  • Étape 1 : J’analyse les termes. Rappel très important : $x^2$ signifie en réalité $x \times x$. Le deuxième terme signifie $7 \times x$.
  • Étape 2 : Je réécris l’expression pour bien voir la structure : $G = x \times x + 7 \times x$.
  • Étape 3 : J’identifie que la lettre $x$ est multipliée dans le premier bloc ET dans le deuxième bloc. Mon facteur commun est donc la lettre $x$.
  • Étape 4 : J’extrais ce $x$ devant la parenthèse. À l’intérieur, je mets ce qu’il reste de chaque côté après avoir barré un seul $x$. Il reste un $x$ (du $x^2$), le signe $+$, et le $7$.
  • Étape 5 : L’expression parfaitement factorisée est $G = x(x + 7)$.

Attention aux pièges fréquents dans le Développement et Factorisation !

Pour exceller sur ce chapitre exigeant, tu dois impérativement éviter ces trois erreurs dramatiques qui détruisent instantanément un calcul.

  • Le piège des signes négatifs : C’est la première cause de perte de points. Lors d’un développement, si un signe moins précède le facteur (comme $-3(x+2)$), beaucoup d’élèves distribuent le $3$ mais oublient de distribuer le signe $-$. Tu dois TOUJOURS multiplier le signe avec le nombre. Le calcul correct est $(-3) \times x + (-3) \times 2 = -3x – 6$.
  • L’addition des puissances de x : Lors de la réduction, ne confonds jamais l’addition et la multiplication. Le calcul $x + x$ donne $2x$ (j’ai deux pommes). Le calcul $x \times x$ donne $x^2$ (c’est l’aire d’un carré). Ne dis jamais que $3x + 4x = 7x^2$, c’est formellement interdit ! Le vrai résultat est $7x$.
  • Le fantôme du facteur « 1 » : C’est le piège ultime de la factorisation. Imaginons l’expression $5x + 5$. L’élève trouve le facteur $5$. Il l’enlève du premier terme (il reste $x$) et il l’enlève du deuxième terme. Mais comme il enlève le $5$ tout entier, il croit qu’il ne reste rien (ou qu’il reste zéro) et écrit $5(x)$. C’est très faux ! Souviens-toi que $5$ s’écrit aussi $5 \times 1$. Le bon facteur commun révèle un $1$ caché. Le calcul s’écrit $5 \times x + 5 \times 1$. La véritable factorisation est $5(x + 1)$. Ne l’oublie jamais !

Exercices d’application progressifs

La théorie est assimilée, place à la pratique intensive ! Prends plusieurs feuilles de brouillon, un bon stylo, et attaque-toi à ces 15 exercices indispensables pour maîtriser le Développement et Factorisation sur le bout des doigts. Ne saute aucune étape dans ta rédaction.

Série 1 : Développement par simple distributivité

Développe et réduis les expressions mathématiques suivantes :
a) $A = 3(x + 6)$
b) $B = 8(y – 4)$
c) $C = 5(2x + 3)$

Série 2 : Développement avec des nombres négatifs et des variables

Fais très attention à la fameuse règle des signes lors de tes multiplications :
a) $D = -4(x + 5)$
b) $E = -2(3y – 7)$
c) $F = x(x + 9)$

Série 3 : La double distributivité classique

Distribue chaque terme méthodiquement, puis regroupe les familles de termes pour réduire :
a) $G = (x + 2)(x + 4)$
b) $H = (y + 5)(y – 3)$
c) $I = (2x + 1)(x + 6)$

Série 4 : Factorisation avec un facteur commun très visible

Joue au détective, trouve l’élément commun, extrais-le et place le reste entre parenthèses :
a) $J = 7x + 7y$
b) $K = 12a – 12b$
c) $L = 3x + 3$ (Rappelle-toi du piège du fantôme « 1 » évoqué dans le cours !)

Série 5 : Factorisation avancée (facteurs cachés et lettres)

Tu vas devoir utiliser tes tables de multiplication ou décomposer les puissances pour trouver le facteur commun :
a) $M = 5x + 15$
b) $N = 8y – 24$
c) $P = x^2 + 6x$

Corrections détaillées étape par étape

Voici la partie la plus importante de cette leçon. Vérifier le résultat final ne suffit pas ; tu dois analyser chaque étape de raisonnement. Lis ces corrections extrêmement approfondies pour comprendre la mécanique intime de chaque calcul.

Correction de la Série 1 : Simple distributivité

Correction de l’exercice a) : $A = 3(x + 6)$
Pour développer cette expression, nous devons appliquer la règle de la simple distributivité. Le facteur $3$ situé devant la parenthèse doit être multiplié avec chaque terme présent à l’intérieur. Dans un premier temps, nous multiplions le nombre $3$ par la variable $x$, ce qui nous donne le terme partiel $3x$. Dans un second temps, nous multiplions ce même facteur $3$ par le nombre positif $+6$. Le calcul classique $3 \times 6$ donne un résultat de $+18$. Enfin, nous regroupons ces deux résultats trouvés pour former l’expression finale développée. On ne peut pas additionner des $x$ avec des nombres normaux, l’expression est donc déjà réduite. Le résultat final est : $A = 3x + 18$.

Correction de l’exercice b) : $B = 8(y – 4)$
La méthode est strictement la même, mais il y a un signe moins dans la parenthèse. Nous identifions le facteur $8$. Nous le distribuons d’abord sur la variable $y$. Le calcul $8 \times y$ nous donne directement $8y$. Ensuite, nous devons distribuer le facteur $8$ sur le deuxième terme qui est négatif, soit le $-4$. Nous effectuons la multiplication $8 \times (-4)$. Un nombre positif par un nombre négatif donne un nombre négatif, soit $-32$. L’assemblage des deux parties du calcul donne l’expression finale et irréductible. Le résultat final est : $B = 8y – 32$.

Correction de l’exercice c) : $C = 5(2x + 3)$
Ici, le premier terme à l’intérieur de la parenthèse possède un coefficient (le nombre $2$ devant le $x$). Lors de la première distribution, nous devons multiplier le facteur extérieur $5$ par le terme entier $2x$. Le calcul est $5 \times 2x$. On multiplie les nombres entre eux : $5 \times 2 = 10$, et la lettre $x$ reste associée. Nous obtenons $10x$. Pour la deuxième distribution, nous multiplions le facteur $5$ par le nombre $+3$, ce qui donne une valeur classique de $+15$. En additionnant les deux résultats, nous obtenons l’expression développée. Le résultat final est : $C = 10x + 15$.

Correction de la Série 2 : Développement, signes et variables

Correction de l’exercice a) : $D = -4(x + 5)$
Alerte maximale sur la règle des signes ! Le facteur situé devant la parenthèse est le nombre négatif $-4$. Nous devons impérativement distribuer ce signe avec le nombre. Première étape : on multiplie $-4$ par la variable $x$. Le résultat est logiquement $-4x$. Deuxième étape : on multiplie le facteur $-4$ par le nombre positif $+5$. Le produit d’un négatif par un positif est un nombre négatif. Le calcul donne $-(4 \times 5)$, soit $-20$. Nous juxtaposons ces deux éléments pour fournir la réponse. Le résultat final est : $D = -4x – 20$.

Correction de l’exercice b) : $E = -2(3y – 7)$
C’est un calcul redoutable qui combine plusieurs difficultés. Le facteur extérieur est $-2$. La première distribution se fait sur le terme $3y$. Nous calculons $-2 \times 3y$. On s’occupe des nombres : $-2 \times 3 = -6$. On ajoute la lettre, cela donne $-6y$. La deuxième distribution est la plus périlleuse : on multiplie le facteur $-2$ par le terme $-7$. C’est la multiplication de deux nombres négatifs. La règle d’or précise que « moins multiplié par moins donne plus ». Le calcul $(-2) \times (-7)$ donne le nombre strictement positif $+14$. L’expression développée rassemble ces calculs. Le résultat final est : $E = -6y + 14$.

Correction de l’exercice c) : $F = x(x + 9)$
Pour cet exercice, le facteur extérieur n’est plus un nombre connu, mais la variable $x$ elle-même. La loi de la distributivité fonctionne de la même manière. Nous distribuons le premier $x$ sur le deuxième $x$ situé dans la parenthèse. Le calcul est $x \times x$. En mathématiques, la multiplication d’une lettre par elle-même s’écrit sous la forme d’une puissance au carré. Nous écrivons donc $x^2$. Ensuite, nous distribuons le facteur $x$ sur le nombre positif $+9$. Le calcul est $x \times 9$, que l’on a l’habitude d’écrire dans l’autre sens par convention esthétique, soit $+9x$. En regroupant, nous obtenons un polynôme. Le résultat final est : $F = x^2 + 9x$.

Correction de la Série 3 : Double distributivité

Correction de l’exercice a) : $G = (x + 2)(x + 4)$
C’est le moment d’appliquer la double distribution. Il faut effectuer quatre multiplications distinctes.
1) On prend le premier terme de la première parenthèse ($x$) que l’on multiplie par le premier terme de la seconde parenthèse ($x$). Résultat : $x \times x = x^2$.
2) On garde ce même premier $x$, et on le multiplie par le second terme de la seconde parenthèse ($+4$). Résultat : $x \times 4 = +4x$.
3) On passe au second terme de la première parenthèse ($+2$), qu’on multiplie par le premier terme de la seconde parenthèse ($x$). Résultat : $2 \times x = +2x$.
4) On multiplie enfin ce $+2$ par le second terme de la seconde parenthèse ($+4$). Résultat : $2 \times 4 = +8$.
L’expression globale brute s’écrit donc : $G = x^2 + 4x + 2x + 8$. L’ultime étape consiste à réduire cette expression en regroupant les termes qui appartiennent à la même famille. Nous ne pouvons rassembler que les termes contenant des $x$ simples. L’addition $4x + 2x$ donne un total de $6x$. Le résultat final est : $G = x^2 + 6x + 8$.

Correction de l’exercice b) : $H = (y + 5)(y – 3)$
Le processus exige une attention méticuleuse portée aux signes.
1) Distribution de $y$ sur $y$ : on obtient $y \times y = y^2$.
2) Distribution de $y$ sur $-3$ : un nombre positif multiplié par un négatif donne un négatif. Le calcul est $y \times (-3) = -3y$.
3) Distribution de $+5$ sur $y$ : l’opération simple donne $+5y$.
4) Distribution de $+5$ sur $-3$ : on applique de nouveau la règle des signes pour trouver $5 \times (-3) = -15$.
L’expression entièrement développée est $H = y^2 – 3y + 5y – 15$. La phase de réduction demande de calculer $-3y + 5y$. C’est l’équivalent de faire une simple soustraction $5y – 3y$, ce qui donne un résultat positif de $+2y$. L’expression réduite et finale est : $H = y^2 + 2y – 15$.

Correction de l’exercice c) : $I = (2x + 1)(x + 6)$
Ce calcul augmente la difficulté avec l’introduction d’un coefficient devant le premier $x$.
1) Nous multiplions le bloc $2x$ par le $x$ de la seconde parenthèse. Le calcul est $2x \times x$. Le coefficient $2$ reste, et les deux lettres se multiplient pour former un carré. Le résultat est $2x^2$.
2) Nous multiplions ce même bloc $2x$ par le nombre $+6$. L’opération est $2x \times 6$. On multiplie les nombres : $2 \times 6 = 12$, et on conserve la lettre. On obtient $+12x$.
3) Nous distribuons le nombre $+1$ sur le $x$. Le calcul donne très logiquement $+1x$, que l’on écrit par souci de simplification simplement $+x$.
4) Enfin, on multiplie le $+1$ par le $+6$. Le résultat est évidemment $+6$.
L’expression brute sans regroupement est $I = 2x^2 + 12x + x + 6$. Nous devons maintenant rassembler les éléments de la famille des $x$. Rappelons-nous que $+x$ équivaut à $+1x$. L’addition à effectuer est donc $12x + 1x$, ce qui génère un total de $13x$. L’expression finale et parfaitement irréductible est : $I = 2x^2 + 13x + 6$.

Correction de la Série 4 : Factorisations basiques

Correction de l’exercice a) : $J = 7x + 7y$
L’objectif central de la factorisation est de détecter un élément répété (un facteur commun) dans chaque bloc de l’addition. Le premier bloc est $7 \times x$. Le deuxième bloc est $7 \times y$. Le nombre $7$ est incontestablement le facteur commun visible. Nous écrivons ce nombre $7$ en première position, puis nous ouvrons immédiatement une parenthèse. Pour trouver ce qui va à l’intérieur, nous imaginons que nous barrons le chiffre $7$ dans l’expression de départ. Il nous reste la lettre $x$, le signe d’addition $+$, et la lettre $y$. La parenthèse est donc $(x + y)$. En réunissant le facteur et la parenthèse, on obtient le produit mathématique. Le résultat final est : $J = 7(x + y)$.

Correction de l’exercice b) : $K = 12a – 12b$
L’analyse de cette soustraction algébrique se fait selon la même logique. Le premier terme est le produit de $12$ par $a$. Le second terme est le produit de $12$ par $b$. Le nombre $12$ est donc le multiplicateur commun évident. Nous procédons à son extraction en le plaçant seul en tête de ligne. Nous ouvrons une parenthèse. En supprimant mentalement le nombre $12$ de l’expression initiale, nous observons qu’il subsiste la variable $a$, le symbole de la soustraction $-$, ainsi que la variable $b$. L’intérieur de la parenthèse s’écrit donc logiquement $(a – b)$. Nous pouvons conclure avec l’expression factorisée. Le résultat final est : $K = 12(a – b)$.

Correction de l’exercice c) : $L = 3x + 3$
Voici le piège classique mis en lumière dans le cours de Développement et Factorisation. L’élève identifie facilement que le nombre $3$ est présent à la fois dans la partie gauche et dans la partie droite. Le facteur commun est effectivement $3$. Cependant, il est impératif de se souvenir que le nombre $3$ isolé équivaut mathématiquement à l’opération $3 \times 1$. L’expression complète, révélant ses secrets, s’écrit en réalité : $L = 3 \times x + 3 \times 1$. En sortant le facteur commun $3$ devant la parenthèse, il faut écrire ce qui reste de chaque côté du signe $+$. Du premier côté, il reste le $x$. Du second côté, il reste le chiffre $1$ (et non pas zéro !). La parenthèse correcte est donc $(x + 1)$. Le résultat final exact est : $L = 3(x + 1)$.

Correction de la Série 5 : Factorisations et facteurs cachés

Correction de l’exercice a) : $M = 5x + 15$
À première vue, aucun chiffre n’apparaît de manière identique des deux côtés du symbole $+$. C’est le signal qu’un facteur commun est camouflé dans les propriétés de multiplication des nombres. Nous devons faire appel à notre maîtrise des tables de multiplication. Le premier terme contient un $5$. Demandons-nous si le second nombre, $15$, est un multiple de $5$. La réponse est affirmative : $15$ correspond à l’opération $5 \times 3$. Nous réécrivons intégralement l’expression sous une forme décomposée pour faire émerger le facteur : $M = 5 \times x + 5 \times 3$. Dès lors, le nombre $5$ devient le facteur commun indéniable. On l’isole au début. Dans la parenthèse, on insère les composants restants : le $x$, le signe $+$, et le chiffre $3$. Le résultat final factorisé est : $M = 5(x + 3)$.

Correction de l’exercice b) : $N = 8y – 24$
Le problème est similaire au précédent, mais fait intervenir une soustraction algébrique. Les chiffres apparents sont $8$ et $24$. La question cruciale est : le grand nombre est-il divisible par le petit nombre, ou partagent-ils un diviseur commun ? Une connaissance solide des tables révèle instantanément que $24$ appartient à la table de $8$. La décomposition est $24 = 8 \times 3$. Afin de ne laisser aucune place à l’erreur, réécrivons l’expression initiale en exposant ses mécanismes de calcul : $N = 8 \times y – 8 \times 3$. L’élément $8$ se révèle être le facteur commun parfait. Nous l’extrayons en dehors des parenthèses. Il reste le $y$, suivi du signe $-$, puis du chiffre $3$. Le résultat final factorisé s’écrit : $N = 8(y – 3)$.

Correction de l’exercice c) : $P = x^2 + 6x$
Pour cet ultime exercice de factorisation, le facteur commun n’est pas un nombre, mais une lettre mathématique. Pour le repérer sans ambiguïté, il est fondamental de se souvenir de la définition mathématique précise de la puissance au carré. Le terme $x^2$ n’est rien d’autre que l’écriture abrégée du produit $x \times x$. Parallèlement, le terme $6x$ représente la multiplication $6 \times x$. Si l’on réécrit l’expression dans sa forme développée originelle, on obtient : $P = x \times x + 6 \times x$. Cette disposition visuelle permet de constater que la variable $x$ joue le rôle de multiplicateur dans les deux parties de l’addition. La lettre $x$ est donc notre facteur commun officiel ! Nous inscrivons un premier $x$ avant la parenthèse. En biffant virtuellement ce facteur commun dans notre écriture décomposée, nous observons le résidu destiné à garnir la parenthèse : il demeure un second $x$ (provenant du terme initial au carré), le symbole de sommation $+$, et enfin le chiffre $6$. L’assemblage de ces éléments forme une expression mathématique très élégante. Le résultat final factorisé est : $P = x(x + 6)$.