Développement et Factorisation – Cours 1ère Année Collège

Cours : Développement et Factorisation
Développement et Factorisation

I. Expression littérale

Activité 1
  1. Calculer les expressions suivantes en remplaçant $a, b, c$ par leurs valeurs, sachant que : $a=10, b=5, c=-3$.
    • $a-c$
    • $ac+b$
    • $a(c+b)$
  2. Soit $d$ un nombre décimal. Simplifier (réduire) les expressions suivantes :
    • $A = 10 + 19d + 11d – 5$
    • $B = 2d + 7 – 6d + 13 + d$
Définition

Une expression littérale est une expression mathématique contenant une ou plusieurs lettres qui désignent des nombres.

Exemple

Simplifier les expressions suivantes :

  • $A = (-3) \times a + 4 = -3a + 4$
  • $B = 2 \times a + 3 \times b + 5 \times a = 2a + 5a + 3b = 7a + 3b$
  • $C = (-5) \times x + 3y = -5x + 3y$
  • $D = (-x) + 7 \times x – 6 = -x + 7x – 6 = 6x – 6$
Remarque

Quand une même lettre est utilisée plusieurs fois dans une expression littérale, elle désigne toujours le même nombre. Il faut aussi remettre les signes de multiplication ($\times$) qui sont sous-entendus lorsqu’on remplace les lettres par des nombres pour calculer.

Application
Simplifier les expressions suivantes :
$A = 3x + 7 + 7x – 2$
$B = 5x + 9 – 3x – 12$
$C = -x + 8 – 3x – 7$
$D = 4x + 5 – 2x + 5$
Correction de l’application

Pour simplifier, on regroupe les termes avec $x$ et les nombres constants.

  • $A = 3x + 7x + 7 – 2 = 10x + 5$
  • $B = 5x – 3x + 9 – 12 = 2x – 3$
  • $C = -x – 3x + 8 – 7 = -4x + 1$
  • $D = 4x – 2x + 5 + 5 = 2x + 10$

II. Développement

Activité 2

Soient $k, a, b$ des nombres positifs. On considère le rectangle ci-dessous.

  1. Exprimer l’Aire 1 en fonction de $k$ et $a$.
  2. Exprimer l’Aire 2 en fonction de $k$ et $b$.
  3. Exprimer l’aire totale du grand rectangle de deux manières différentes :
    • En additionnant l’Aire 1 et l’Aire 2.
    • En utilisant la formule de l’aire d’un rectangle (longueur $\times$ largeur).
  4. Quelle égalité peut-on en déduire ?
Définition

Développer, c’est transformer un produit en une somme ou une différence. On utilise pour cela la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition et à la soustraction.

Règle (Distributivité simple)
Soient $a, b$ et $k$ des nombres relatifs. $$ k \times (a+b) = k \times a + k \times b $$ $$ k \times (a-b) = k \times a – k \times b $$
Exemple

On développe les expressions suivantes :

  • $A = 5(x+2) = 5 \times x + 5 \times 2 = 5x + 10$
  • $B = -3(y-4) = (-3) \times y – (-3) \times 4 = -3y + 12$

III. Factorisation

Activité 3

On considère l’expression $A = 6x + 18$.

  1. Écrire chaque terme de la somme ($6x$ et $18$) comme un produit de facteurs.
  2. Quel est le plus grand facteur commun à ces deux termes ?
  3. En utilisant ce facteur commun, réécrire l’expression $A$ sous la forme d’un produit $k \times (\dots + \dots)$.
Définition

Factoriser une expression, c’est transformer une somme ou une différence en un produit. Pour cela, on doit trouver un facteur commun.

Règle
Soient $a, b$ et $k$ des nombres relatifs. $$ ka + kb = k(a+b) $$ $$ ka – kb = k(a-b) $$
Exemple

Factoriser les expressions suivantes :

  • $A = 7x + 21 = 7 \times x + 7 \times 3 = 7(x+3)$
  • $B = x^2 – 5x = x \times x – 5 \times x = x(x-5)$

IV. Les identités remarquables

Activité 4

Soient $a$ et $b$ deux nombres.

  1. Développer l’expression $(a+b)^2$ en l’écrivant sous la forme $(a+b)(a+b)$ et en utilisant la double distributivité.
  2. Développer l’expression $(a-b)^2$ en l’écrivant sous la forme $(a-b)(a-b)$.
  3. Développer l’expression $(a+b)(a-b)$.
  4. Que remarquez-vous ?
Approche géométrique pour $(a+b)^2$ :

L’aire du grand carré de côté $(a+b)$ est $(a+b)^2$. Exprimez cette aire en additionnant les aires des quatre quadrilatères à l’intérieur.

Règle
Soient $a$ et $b$ deux nombres relatifs. \begin{align*} (a+b)^2 &= a^2 + 2ab + b^2 \\ (a-b)^2 &= a^2 – 2ab + b^2 \\ (a+b)(a-b) &= a^2 – b^2 \end{align*}
Exemple

On développe les expressions suivantes en utilisant les identités remarquables :

  • $(x+5)^2 = x^2 + 2 \times x \times 5 + 5^2 = x^2 + 10x + 25$
  • $(y-3)^2 = y^2 – 2 \times y \times 3 + 3^2 = y^2 – 6y + 9$
  • $(z+4)(z-4) = z^2 – 4^2 = z^2 – 16$
Remarque

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