Fractions : Opérations
Notion de fraction
Définition
Soient $a$ et $b$ deux nombres décimaux avec $b \neq 0$.
- Le quotient de $a$ par $b$, noté $\frac{a}{b}$, est appelé une écriture fractionnaire.
- $a$ est le numérateur et $b$ est le dénominateur.
- Si $a$ et $b$ sont des nombres entiers, $\frac{a}{b}$ est appelée une fraction.
Exemple
$\frac{11}{2}$, $\frac{3}{7}$ et $\frac{9}{2}$ sont des fractions.
$\frac{2,5}{3}$ et $\frac{1,7}{5,9}$ sont des écritures fractionnaires.
$\frac{2,5}{3}$ et $\frac{1,7}{5,9}$ sont des écritures fractionnaires.
Égalité de fractions
Activité
On considère 4 rectangles identiques.
- Exprimer par des fractions la partie coloriée de chaque rectangle.
- Comparer ces fractions. Que remarque-t-on ?
Propriété
On ne change pas la valeur d’une écriture fractionnaire en multipliant (ou en divisant) son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.
Soient $a$, $b$, $k$ des nombres décimaux avec $b \neq 0$ et $k \neq 0$: $$ \frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k} \quad \text{et} \quad \frac{a}{b} = \frac{a \div k}{b \div k} $$
Soient $a$, $b$, $k$ des nombres décimaux avec $b \neq 0$ et $k \neq 0$: $$ \frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k} \quad \text{et} \quad \frac{a}{b} = \frac{a \div k}{b \div k} $$
Comparaison de fractions
Règle
- Même dénominateur : Si deux fractions ont le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur.
Exemple : $\frac{19}{7} > \frac{17}{7}$ car $19 > 17$. - Même numérateur : Si deux fractions ont le même numérateur, la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur.
Exemple : $\frac{14}{3} > \frac{14}{8}$ car $3 < 8$.
Addition et soustraction de fractions
Règle (Dénominateurs identiques)
Pour additionner ou soustraire deux fractions ayant le même dénominateur, on additionne ou soustrait les numérateurs et on conserve le dénominateur commun.
$$ \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} \quad \text{et} \quad \frac{a}{c} – \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c} $$
Règle (Dénominateurs différents)
Pour additionner ou soustraire deux fractions ayant des dénominateurs différents, on doit d’abord les réduire au même dénominateur.
Exemple
Calculer $A = \frac{7}{6} + \frac{2}{3}$.
Le dénominateur commun est 6 (car 6 est un multiple de 3).
$\frac{2}{3} = \frac{2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{4}{6}$.
Donc, $A = \frac{7}{6} + \frac{4}{6} = \frac{7+4}{6} = \frac{11}{6}$.
Le dénominateur commun est 6 (car 6 est un multiple de 3).
$\frac{2}{3} = \frac{2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{4}{6}$.
Donc, $A = \frac{7}{6} + \frac{4}{6} = \frac{7+4}{6} = \frac{11}{6}$.
Multiplication et division de fractions
Règle (Multiplication)
Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
$$ \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} $$
Définition
L’inverse de la fraction non nulle $\frac{a}{b}$ est la fraction $\frac{b}{a}$.
Règle (Division)
Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.
$$ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c} $$
Remarque
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