Bienvenue dans ce cours exceptionnel où la Proportionnalité n’aura plus le moindre secret pour toi ! Prépare-toi à découvrir l’outil mathématique le plus utile de la vie quotidienne, celui qui te permettra d’adapter des recettes de cuisine, de calculer des réductions en magasin ou de lire une carte géographique avec une facilité déconcertante.

Activité de découverte : La fameuse recette des crêpes

Imaginons que ce soit le week-end et que tu décides de préparer de délicieuses crêpes pour ta famille. Tu trouves une excellente recette sur internet, mais elle est prévue pour exactement $4$ personnes. La liste des ingrédients indique qu’il te faut $200$ grammes de farine, $4$ œufs et $50$ centilitres de lait.

Soudain, tes grands-parents et tes cousins arrivent à l’improviste ! Vous n’êtes plus $4$ à table, mais vous êtes désormais $8$ personnes. Comment vas-tu adapter les quantités de ta recette pour que les crêpes soient toujours aussi bonnes ?

Ton cerveau mathématique va réagir très vite. Puisque $8$ personnes, c’est exactement le double de $4$ personnes (car $4 \times 2 = 8$), la logique veut que tu utilises exactement le double de chaque ingrédient. Tu vas donc prendre $400$ grammes de farine ($200 \times 2$), $8$ œufs ($4 \times 2$) et $100$ centilitres de lait ($50 \times 2$).

Et si, au contraire, tu étais tout seul pour le goûter ? Tu diviserais les quantités par $4$. Cette relation magique où toutes les grandeurs sont multipliées ou divisées par un même nombre, de manière parfaitement équilibrée, c’est ce que l’on appelle une situation de proportionnalité !

Je retiens : Qu’est-ce que la Proportionnalité ?

Commençons par définir cette notion fondamentale avec le vocabulaire précis des mathématiques du collège. Il faut toujours parler de « grandeurs ». Une grandeur est tout ce qui peut être mesuré ou compté (un poids, un prix, une distance, une durée…).

Définition officielle :
Deux grandeurs sont dites proportionnelles si l’on peut passer des valeurs de la première grandeur aux valeurs de la deuxième grandeur en multipliant toujours par le même nombre.

Ce nombre « magique », qui permet de passer d’une ligne à l’autre dans un tableau, possède un nom très important : c’est le coefficient de proportionnalité. Il ne change jamais au sein d’un même problème.

Méthodes et Exemples résolus : Reconnaître la Proportionnalité

Comment savoir si un tableau de nombres représente bien une situation proportionnelle ? Il existe une méthode infaillible qui consiste à faire des divisions.

Exemple 1 : Vérifier un tableau de prix
Au marché, on vend des pommes. Le tableau indique le prix selon la masse achetée :
– Pour $2$ kg, on paie $5$ euros.
– Pour $3$ kg, on paie $7,50$ euros.
– Pour $5$ kg, on paie $12,50$ euros.
Ce tableau est-il un tableau de proportionnalité ?

• Étape 1 : On prend la valeur de la ligne du bas et on la divise par la valeur correspondante sur la ligne du haut.
• Étape 2 : On calcule pour la première colonne : $5 \div 2 = 2,5$.
• Étape 3 : On calcule pour la deuxième colonne : $7,50 \div 3 = 2,5$.
• Étape 4 : On calcule pour la troisième colonne : $12,50 \div 5 = 2,5$.
• Conclusion : Puisque l’on trouve exactement le même résultat à chaque fois, les deux grandeurs (la masse et le prix) sont proportionnelles. Le nombre $2,5$ est le coefficient de proportionnalité (ici, c’est le prix d’un seul kilo de pommes !).

Exemple 2 : Le piège de l’âge et de la taille
Un carnet de santé indique la taille d’un enfant :
– À $5$ ans, il mesure $110$ cm.
– À $10$ ans, il mesure $140$ cm.
La taille est-elle proportionnelle à l’âge ?

• On divise la taille par l’âge pour la première colonne : $110 \div 5 = 22$.
• On divise pour la deuxième colonne : $140 \div 10 = 14$.
• Conclusion : Les résultats sont différents ($22$ n’est pas égal à $14$). Il n’y a pas de coefficient unique. L’âge et la taille ne sont pas des grandeurs proportionnelles. (Heureusement, sinon à $20$ ans, il mesurerait $280$ cm !).

Je retiens : Calculer une quatrième proportionnelle

Le principal objectif des exercices au collège est de trouver une valeur manquante dans un tableau de proportionnalité. Cette valeur mystère s’appelle la « quatrième proportionnelle » (car on connaît généralement trois nombres, et on cherche le quatrième).

Il existe trois méthodes géniales pour la trouver. Tu dois choisir la méthode qui rend les calculs les plus faciles selon les nombres proposés.

Méthode 1 : Utiliser le coefficient de proportionnalité

C’est la méthode de base. On trouve le prix de « l’unité » pour ensuite calculer n’importe quelle autre quantité.
Problème : Si $3$ cahiers coûtent $6$ euros, combien coûtent $8$ cahiers ?

• Étape 1 : Je cherche le coefficient en divisant le prix par la quantité : $6 \div 3 = 2$. Un cahier coûte donc $2$ euros. Mon coefficient est $2$.
• Étape 2 : J’utilise ce coefficient pour la nouvelle quantité. Je multiplie le nombre de cahiers par le coefficient : $8 \times 2 = 16$.
• Réponse : Les $8$ cahiers coûteront $16$ euros.

Méthode 2 : Utiliser les propriétés des colonnes (Linéarité)

Parfois, passer par le coefficient donne des nombres à virgule compliqués. On peut alors sauter directement d’une colonne à l’autre en additionnant ou en multipliant les quantités.

Problème : Pour faire un gâteau, il faut $150$ g de sucre pour $4$ personnes. Quelle quantité de sucre faut-il pour $12$ personnes ?

• Étape 1 : J’observe les nombres qui représentent le nombre de personnes : je passe de $4$ à $12$.
• Étape 2 : Je remarque que $12$ est dans la table de $4$. En effet, $4 \times 3 = 12$. La quantité de personnes a été multipliée par $3$.
• Étape 3 : La règle d’or de la linéarité m’oblige à faire exactement la même opération sur la quantité de sucre. Je multiplie le sucre par $3$ : $150 \times 3 = 450$.
• Réponse : Il faudra $450$ g de sucre.

Méthode 3 : Le Produit en Croix (La règle de trois)

C’est l’arme absolue ! Quand les nombres sont compliqués et qu’aucune des deux premières méthodes ne semble simple, le produit en croix fonctionne toujours et à la perfection.

Imaginons un tableau à quatre cases avec trois nombres connus ($a$, $b$, $c$) et une case vide ($x$) :
$a \longrightarrow b$
$c \longrightarrow x$

La règle du produit en croix dit que la diagonale connue ($b \times c$) est égale à l’autre diagonale ($a \times x$). Pour trouver le nombre manquant $x$, on fait toujours le même enchaînement : on multiplie les deux nombres en diagonale, et on divise par le troisième nombre qui reste seul.

Problème : Une voiture consomme $6$ litres d’essence pour parcourir $100$ kilomètres. Combien de litres consommera-t-elle pour parcourir $350$ kilomètres ?

• Étape 1 : Je dresse mon tableau imaginaire. Colonne 1 : Distance $100$ $\rightarrow$ Essence $6$. Colonne 2 : Distance $350$ $\rightarrow$ Essence $x$.
• Étape 2 : Je repère ma diagonale complète (les nombres connus). C’est le $6$ et le $350$. Je les multiplie : $6 \times 350 = 2100$.
• Étape 3 : Je divise ce résultat par le nombre restant, qui est le $100$. Le calcul est $2100 \div 100 = 21$.
• Réponse : La voiture consommera $21$ litres d’essence. L’opération s’écrit formellement : $x = \frac{6 \times 350}{100}$.

Je retiens : Proportionnalité et Pourcentages

Les pourcentages terrorisent parfois les élèves, alors qu’ils sont d’une simplicité enfantine. Appliquer un pourcentage, c’est tout simplement résoudre un problème de proportionnalité où le total de référence est toujours fixé à $100$ !

Dire que « $20\%$ des élèves portent des lunettes », cela signifie que si l’on imaginait un collège avec exactement $100$ élèves, il y en aurait exactement $20$ qui porteraient des lunettes. C’est une simple fraction de dénominateur $100$. Le symbole $\%$ signifie littéralement « sur cent ». On écrit : $20\% = \frac{20}{100}$.

Méthodes et Exemples résolus : Calculer un pourcentage

Pour calculer le pourcentage d’une grandeur, on multiplie cette grandeur par la fraction correspondant au pourcentage.

Exemple résolu : Les soldes en magasin
Un magnifique manteau est affiché au prix initial de $80$ euros. Pendant les soldes, le magasin applique une réduction de $30\%$. Quel est le montant de la réduction en euros ? Et quel sera le nouveau prix à payer à la caisse ?

• Calcul de la réduction : Je dois calculer $30\%$ de $80$ euros.
• Je pose mon calcul : $80 \times \frac{30}{100}$.
• Il y a plusieurs façons de calculer. Le plus simple est de multiplier le prix par le numérateur, puis de diviser par cent : $(80 \times 30) \div 100$.
• Je calcule $80 \times 30 = 2400$.
• Je divise par cent (je retire deux zéros) : $2400 \div 100 = 24$.
• La réduction est de $24$ euros.
• Calcul du nouveau prix : Je prends le prix de départ et je soustrais la réduction.
• Le calcul est : $80 – 24 = 56$.
• Le nouveau prix à payer en caisse sera de $56$ euros.

Je retiens : Les Échelles (Cartes et Maquettes)

Une carte de géographie, le plan d’une maison ou la maquette d’une voiture sont des reproductions fidèles de la réalité, mais en plus petit (ou parfois en plus grand, comme pour un microscope). Pour que les proportions soient gardées, on utilise une échelle.

Une échelle s’écrit souvent sous forme de fraction (exemple : $\frac{1}{1000}$). Cela signifie que $1$ centimètre sur la carte représente $1000$ centimètres dans la réalité. C’est le coefficient de proportionnalité direct entre le dessin et la réalité.

Formule sacrée de l’échelle :
$\text{Échelle} = \frac{\text{Distance sur le plan}}{\text{Distance dans la réalité}}$
Attention : Les deux distances DOIVENT obligatoirement être exprimées dans la même unité de mesure (souvent le centimètre) avant de faire la division !

Attention aux pièges fréquents !

Voici le bêtisier classique des erreurs commises en évaluation sur ce chapitre. Lis-les attentivement pour immuniser ton esprit !

• Le piège de l’addition dans le tableau : C’est l’erreur la plus fatale. Dans un tableau de proportionnalité, on a le droit d’additionner deux colonnes pour en créer une troisième. MAIS, on n’a jamais le droit de faire « +2 en haut, donc +2 en bas ». La proportionnalité ne fonctionne qu’avec des multiplications et des divisions. Si $2$ stylos coûtent $3$ euros, $4$ stylos (c’est $+2$ stylos) ne coûteront pas $3+2=5$ euros ! Ils coûteront $3 \times 2 = 6$ euros !
• Oublier de convertir les unités pour l’échelle : Si un problème dit « $5$ cm sur la carte représentent $10$ km en réalité, calcule l’échelle », ne divise surtout pas $5$ par $10$ ! Tu dois d’abord convertir les $10$ kilomètres en centimètres. $10$ km = $10 000$ m = $1 000 000$ cm. Le vrai calcul est $\frac{5}{1 000 000}$.
• Croire que toutes les promotions sont proportionnelles : Le panneau « 3 achetés, le 4ème offert » détruit la proportionnalité. Le prix d’un seul article ne te permettra pas de prédire le prix de 4 articles en multipliant par 4, puisque le dernier est gratuit ! L’énoncé doit garantir que les prix restent réguliers.

Exercices d’application progressifs

La théorie est assimilée, place à la pratique de maître ! Prends un cahier de brouillon, pose clairement tes calculs, et n’hésite pas à tracer des tableaux avec des flèches pour organiser ta réflexion.

Série 1 : Reconnaître une situation proportionnelle

Exercice 1 : Ce tableau qui indique le prix des places de cinéma est-il un tableau de proportionnalité ? Justifie par des calculs.
– $2$ places $\rightarrow$ $16$ €
– $4$ places $\rightarrow$ $32$ €
– $5$ places $\rightarrow$ $40$ €

Exercice 2 : Ce tableau tarifaire d’un parking est-il proportionnel ? Justifie.
– $1$ heure $\rightarrow$ $2$ €
– $3$ heures $\rightarrow$ $6$ €
– $24$ heures $\rightarrow$ $15$ € (forfait journée)

Exercice 3 : Au supermarché, un paquet de $500$g de pâtes est vendu $1,20$ €. Le paquet familial de $2$ kg est vendu $4,50$ €. Le prix est-il proportionnel à la quantité achetée ? (Attention aux unités !).

Série 2 : Trouver le coefficient de proportionnalité

Exercice 4 : $5$ kilos d’oranges coûtent $8,50$ €. Calcule le prix d’un seul kilo (le coefficient). Déduis-en le prix de $7$ kilos.

Exercice 5 : Un robinet fuit régulièrement. En $4$ heures, il a laissé échapper $14$ litres d’eau. Quel est le coefficient de proportionnalité (le débit en litres par heure) ? Combien d’eau perdra-t-il en $10$ heures ?

Exercice 6 : À la boulangerie, on pèse les bonbons. $200$ g de bonbons coûtent $3$ €. Calcule le prix pour $100$ g, puis utilise ce résultat pour calculer le prix de $600$ g.

Série 3 : Produit en croix et Quatrième proportionnelle

Exercice 7 : Pour peindre un mur de $30$ m², un artisan utilise $5$ litres de peinture. Il doit peindre une nouvelle façade de $78$ m² avec la même peinture. Combien de litres de peinture doit-il acheter ? (Utilise le produit en croix pour une précision maximale).

Exercice 8 : Une recette pour faire des cookies indique qu’il faut $120$ g de chocolat pour faire $15$ cookies. Clara veut faire $25$ cookies pour l’anniversaire de sa copine. Quelle masse de chocolat lui faut-il ?

Exercice 9 : Sur son vélo, lors d’une course, Thomas parcourt $12$ km en $30$ minutes en gardant toujours la même vitesse. Combien de minutes mettra-t-il pour parcourir les $28$ km de l’étape entière ?

Série 4 : Les Pourcentages

Exercice 10 : Dans un collège de $500$ élèves, $45\%$ des élèves sont des garçons. Calcule le nombre exact de garçons dans ce collège. Déduis-en le nombre de filles.

Exercice 11 : Un ordinateur pour le gaming coûte initialement $1200$ €. Le vendeur propose une remise exceptionnelle de $15\%$. Calcule le montant de la remise en euros, puis calcule le prix final de l’ordinateur.

Exercice 12 : Une tablette de chocolat de $200$ g contient $70\%$ de cacao pur. Quelle masse de cacao pur (en grammes) vas-tu ingérer si tu manges la tablette toute entière ?

Série 5 : Les Échelles et la réalité

Exercice 13 : Sur le plan d’un architecte à l’échelle $\frac{1}{50}$, la chambre de Sarah mesure $6$ centimètres de long. Calcule la longueur réelle de la chambre de Sarah, d’abord en centimètres, puis en mètres.

Exercice 14 : La distance à vol d’oiseau entre Paris et Marseille est d’environ $660$ kilomètres. Sur une carte de France, cette même distance est représentée par un segment de $33$ centimètres. Calcule l’échelle exacte de cette carte.

Exercice 15 : Un insecte microscopique mesure $2$ millimètres dans la réalité. Dans un livre de sciences, sa photo est agrandie et il mesure $8$ centimètres. Calcule l’échelle d’agrandissement de cette photo (attention aux unités avant de faire la division !).

Corrections détaillées étape par étape

Voici la partie vitale de ta progression. La correction ne sert pas qu’à vérifier le résultat, elle sert à comprendre la narration mathématique. Observe bien comment on rédige et justifie chaque opération. C’est l’argumentation qui prouve ton intelligence mathématique au correcteur.

Correction de la Série 1 : Tableaux et Logique

Correction de l’exercice 1 :
Pour prouver formellement qu’un tableau représente une situation de proportionnalité, on doit effectuer la division de chaque quantité de la ligne du bas par la quantité associée sur la ligne du haut, afin de vérifier si le quotient est constant.
– Première colonne : Je calcule $16 \div 2$. Le résultat est $8$.
– Deuxième colonne : Je calcule $32 \div 4$. Le résultat est $8$.
– Troisième colonne : Je calcule $40 \div 5$. Le résultat est $8$.
Les trois quotients sont rigoureusement identiques (le prix d’une place est toujours de $8$ €). Je peux donc affirmer fièrement que oui, ce tableau est un tableau de proportionnalité.

Correction de l’exercice 2 :
On applique la même méthode rigoureuse d’inspection des quotients.
– Pour une heure de parking : $2 \div 1 = 2$. Le taux est de $2$ € par heure.
– Pour trois heures : $6 \div 3 = 2$. Le taux est maintenu à $2$ € par heure.
– Pour le forfait de 24 heures : Je calcule $15 \div 24$. Le résultat décimal est $0,625$. Le taux tombe à $0,625$ € par heure.
Puisque le dernier quotient ($0,625$) est totalement différent des premiers ($2$), le prix n’évolue pas au même rythme que le temps passé. Par conséquent, non, ce tableau n’est absolument pas proportionnel.

Correction de l’exercice 3 :
Attention au grand piège des unités de mesure ! Pour comparer des prix, il faut que les masses soient exprimées dans la même unité. Convertissons tout en kilogrammes.
– Le premier paquet pèse $500$ g, ce qui équivaut à $0,5$ kg. Son prix est $1,20$ €. Je calcule son prix au kilo : $1,20 \div 0,5 = 2,40$. Le kilo revient à $2,40$ €.
– Le deuxième paquet pèse $2$ kg. Son prix total est $4,50$ €. Je calcule son prix au kilo : $4,50 \div 2 = 2,25$. Le kilo revient à $2,25$ €.
Les prix au kilogramme sont différents ($2,40 \neq 2,25$). Le format familial bénéficie d’une promotion qui brise la régularité. Donc, non, le prix n’est pas proportionnel à la quantité achetée.

Correction de la Série 2 : Extraction du coefficient

Correction de l’exercice 4 :
Étape 1 : Le calcul du coefficient. Je cherche le prix de l’unité, c’est-à-dire le prix de $1$ kilo. Pour cela, je pose l’opération mathématique : Prix total divisé par la masse totale. Le calcul est $8,50 \div 5$. Si je pose la division (ou de tête car $85 \div 5 = 17$), je trouve un quotient de $1,70$. Le coefficient est donc $1,70$. Un kilo d’oranges coûte $1,70$ €.
Étape 2 : L’utilisation du coefficient. Maintenant que je connais le multiplicateur, je peux calculer le prix pour $7$ kilos. Je multiplie la nouvelle quantité par le coefficient : $7 \times 1,70$. Le calcul donne $11,90$.
Conclusion : Les $7$ kilos d’oranges coûteront très exactement $11,90$ €.

Correction de l’exercice 5 :
La méthode d’investigation est identique. La proportionnalité nous permet de déduire le débit d’eau horaire.
Étape 1 : Je calcule le volume d’eau perdu en une seule heure. C’est mon coefficient. Je divise le volume total par la durée totale. Le calcul est $14 \div 4$. J’effectue la division et je trouve $3,5$. Le coefficient de proportionnalité est de $3,5$ (le robinet perd $3,5$ litres d’eau à chaque heure qui passe).
Étape 2 : Je réponds à la question posée. Pour une durée de $10$ heures, je multiplie le temps par le coefficient. Le calcul est extraordinairement simple : $10 \times 3,5 = 35$.
Conclusion : En l’espace de $10$ heures, le robinet laissera s’échapper $35$ litres d’eau dans la nature.

Correction de l’exercice 6 :
Cet exercice permet d’utiliser la « linéarité » (la propriété des colonnes) sans passer par l’unité « 1 » gramme qui serait très petite.
Étape 1 : On nous dit que $200$ g coûtent $3$ €. Pour trouver le prix de $100$ g, je remarque que $100$ est la moitié de $200$. Je divise donc la masse par $2$. La loi de proportionnalité m’oblige à diviser le prix par $2$ également. Le calcul est $3 \div 2 = 1,5$. Les $100$ g de bonbons coûtent $1,50$ €.
Étape 2 : On me demande le prix pour $600$ g. Je sais maintenant que $100$ g valent $1,50$ €. Pour passer de $100$ g à $600$ g, il suffit de multiplier par $6$. Je multiplie donc le prix de $1,50$ € par $6$. L’opération est $1,50 \times 6 = 9$.
Conclusion : Les $600$ g de délicieux bonbons coûteront $9$ € à la caisse.

Correction de la Série 3 : Le triomphe du produit en croix

Correction de l’exercice 7 :
Les nombres $30$ et $78$ ne sont pas dans des tables de multiplication évidentes l’un pour l’autre. Le produit en croix est l’outil parfait pour ce problème complexe.
Je construis mon schéma mental :
Surface de $30$ m² $\rightarrow$ volume de $5$ litres.
Surface de $78$ m² $\rightarrow$ volume inconnu $x$ litres.
La diagonale pleine (celle où je connais les deux nombres) est celle qui relie le $78$ et le $5$. Je multiplie donc les valeurs de cette diagonale : $78 \times 5 = 390$.
Ensuite, l’étape finale du produit en croix exige de diviser ce résultat par le dernier nombre restant sur le tableau, c’est-à-dire le $30$. Le calcul est $390 \div 30$. (Astuce de calcul : on barre un zéro en haut et en bas, il reste $39 \div 3$). Le résultat est $13$.
Conclusion : L’artisan peintre aura besoin d’acheter exactement $13$ litres de peinture pour sa nouvelle façade.

Correction de l’exercice 8 :
Application rigoureuse de la règle de trois (produit en croix) pour la cuisine.
Schéma du tableau :
Masse de $120$ g $\rightarrow$ Qté de $15$ cookies.
Masse inconnue $x$ $\rightarrow$ Qté de $25$ cookies.
J’identifie la diagonale avec deux nombres : le $120$ et le $25$. J’effectue la grande multiplication : $120 \times 25$. Pour calculer mentalement, je fais $120 \times 100 \div 4$, ce qui donne $12000 \div 4 = 3000$. Le produit de la diagonale est $3000$.
La règle stipule qu’il faut maintenant diviser ce grand nombre par le nombre isolé de mon tableau, le $15$. Le calcul final est $3000 \div 15$. Puisque $30 \div 15 = 2$, alors $3000 \div 15 = 200$.
Conclusion : Clara devra faire fondre une masse de $200$ grammes de chocolat pour son anniversaire.

Correction de l’exercice 9 :
L’énoncé précise « en gardant la même vitesse », c’est la phrase magique qui garantit que la distance et le temps sont des grandeurs proportionnelles.
Je pose la configuration de mon produit en croix :
Distance de $12$ km $\rightarrow$ Temps de $30$ min.
Distance de $28$ km $\rightarrow$ Temps inconnu $x$ min.
Je repère la diagonale de nombres croisés : le $28$ et le $30$. Je les multiplie sans hésitation : $28 \times 30$. Je calcule d’abord $28 \times 3 = 84$, puis je rajoute le zéro, ce qui me donne $840$.
La dernière étape est la division par la valeur solitaire restante, le chiffre $12$. Le calcul se pose ainsi : $840 \div 12$. Je cherche dans les tables : combien de fois $12$ dans $84$ ? C’est $7$ fois ($7 \times 10 = 70$ et $7 \times 2 = 14$, $70+14=84$). Donc $840 \div 12 = 70$.
Conclusion : Notre cycliste acharné mettra exactement $70$ minutes (soit 1 heure et 10 minutes) pour franchir la ligne d’arrivée des $28$ km.

Correction de la Série 4 : Démythifier les pourcentages

Correction de l’exercice 10 :
Il faut extraire un sous-groupe d’une population totale. L’opération mathématique fondamentale pour appliquer un pourcentage est la multiplication par une fraction sur cent.
L’effectif total est de $500$ élèves. La part des garçons est de $45\%$.
L’équation s’écrit formellement : $500 \times \frac{45}{100}$.
Méthode de calcul rapide par simplification : je divise immédiatement l’effectif total par le dénominateur de la fraction. $500 \div 100 = 5$. Cela signifie que $1\%$ de l’école représente $5$ élèves physiques. Ensuite, je multiplie ce « un pourcent » par la quantité désirée, c’est-à-dire le numérateur $45$. L’opération est $5 \times 45 = 225$.
Conclusion de la première question : Il y a très exactement $225$ garçons dans l’établissement.
Pour déduire le nombre de filles, point besoin de refaire un pourcentage. Il suffit de soustraire la quantité de garçons du total général des élèves de l’école. L’opération arithmétique est : $500 – 225 = 275$.
Conclusion finale : Le collège compte parmi ses élèves $275$ filles.

Correction de l’exercice 11 :
Le problème se divise en deux étapes : d’abord le calcul du cadeau (la remise), puis la soustraction pour obtenir la facture finale.
Étape 1 : Le calcul de la remise. L’ordinateur vaut $1200$ €. La remise offerte est de $15\%$. J’écris la formule classique de proportionnalité : $1200 \times \frac{15}{100}$.
Pour faire le calcul sans calculatrice, je peux diviser mon prix par cent en retirant deux zéros. $1200 \div 100 = 12$. Puis je multiplie par le pourcentage de quinze. Je pose $12 \times 15$. (Astuce : $10 \times 15 = 150$, et $2 \times 15 = 30$. La somme est $150 + 30 = 180$).
La réduction monétaire s’élève à $180$ euros de cadeau.
Étape 2 : Le calcul du nouveau prix. Le client ne paie pas le prix plein. On part de $1200$ euros et on ampute la remise calculée. La soustraction est $1200 – 180$. (Je fais $1200 – 100 = 1100$, puis $1100 – 80 = 1020$).
Conclusion : Le joueur de jeux vidéos paiera sa machine au prix final de $1020$ euros à la caisse du magasin.

Correction de l’exercice 12 :
Un exercice de chimie et de gourmandise. Le pourcentage exprime la concentration d’un ingrédient.
La masse de référence (la tablette) est de $200$ grammes. La proportion de cacao pur est de $70\%$.
La formulation mathématique incontournable est : $200 \times \frac{70}{100}$.
Technique de calcul : Je peux commencer par la multiplication du haut. Le calcul $200 \times 70$ donne $14000$. L’étape finale de ce produit en croix déguisé est de diviser par le diviseur universel des pourcentages : $100$. L’opération devient $14000 \div 100$. Je raye deux zéros finaux, le quotient est de $140$.
Conclusion : Si tu dévores la tablette entière pour le goûter, ton estomac devra digérer très exactement $140$ grammes de cacao pur !

Correction de la Série 5 : Rapports d’Échelles

Correction de l’exercice 13 :
Comprendre le mécanisme d’une échelle cartographique est une compétence primordiale. L’échelle fractionnaire $\frac{1}{50}$ est un code universel qui clame haut et fort : « Pour chaque centimètre que vous mesurez sur mon plan, il y en a en vérité $50$ dans le monde réel ».
Étape 1 : L’agrandissement en centimètres. La règle a mesuré $6$ cm sur le papier. Pour rétablir la taille véritable de la chambre, le coefficient multiplicateur à utiliser est le dénominateur de l’échelle, c’est-à-dire $50$. Je pose la multiplication : $6 \times 50$. L’opération $6 \times 5 = 30$, en rajoutant le zéro, génère le nombre $300$.
La chambre mesure $300$ centimètres de long dans la réalité.
Étape 2 : La conversion en mètres, qui est l’unité de mesure usuelle en architecture de bâtiment. La table de conversion des longueurs nous indique qu’il faut $100$ centimètres pour faire $1$ seul mètre. Je dois donc diviser mon résultat par cent. $300 \div 100 = 3$.
Conclusion : La véritable chambre de Sarah mesure $3$ mètres de long de mur à mur.

Correction de l’exercice 14 :
C’est le travail du cartographe : inventer l’échelle à partir de mesures connues. L’immense danger de ce problème réside dans les unités discordantes.
Étape 1 : L’homogénéisation absolue des unités. On ne mélange pas les serviettes (cm) et les torchons (km) dans une fraction. Le papier est mesuré en centimètres ($33$ cm). Nous devons urgemment convertir la réalité de la géographie ($660$ km) en centimètres pour les réconcilier.
Tableau des conversions : de km à m, j’ajoute trois zéros ($660$ km = $660 000$ m). De m à cm, j’ajoute encore deux zéros ($660 000$ m = $66 000 000$ cm). La distance réelle est de soixante-six millions de centimètres !
Étape 2 : La construction fractionnaire. La formule de base dicte que l’échelle est le quotient de la carte sur la réalité. J’écris la fraction brute : $\frac{33}{66 000 000}$.
Étape 3 : La simplification indispensable pour aboutir à une échelle standard avec un numérateur de « 1 ». Je dois diviser le haut et le bas de la fraction par $33$. Le haut devient $33 \div 33 = 1$. Le bas de la fraction est calculable mentalement car $66 \div 33 = 2$. Le grand nombre divisé par $33$ donne donc $2 000 000$.
Conclusion : La carte routière de France imprimée sous tes yeux possède une échelle officielle de $\frac{1}{2 000 000}$ (un deux-millionième, $1$ cm vaut $20$ km !).

Correction de l’exercice 15 :
Nous terminons avec une échelle d’agrandissement, souvent utilisée en biologie cellulaire ou entomologie. L’objet sur le dessin devient plus grand que dans le monde réel, le numérateur de l’échelle sera donc supérieur au dénominateur !
Étape 1 : Le combat des unités. L’insecte est en millimètres ($2$ mm), le livre est en centimètres ($8$ cm). Convertissons la mesure du livre vers la plus petite unité pour simplifier la vie. On sait que $1$ cm correspond à $10$ mm. Le livre affiche donc une photo qui mesure $8 \times 10 = 80$ mm de long.
Étape 2 : L’application de la formule de l’échelle géométrique (Image $\div$ Réalité). L’image mesure $80$ mm. La créature réelle mesure $2$ mm. La fraction brute s’écrit $\frac{80}{2}$.
Étape 3 : Le calcul du résultat final. La fraction $\frac{80}{2}$ est une simple division qui donne le nombre entier $40$. Si on souhaite la conserver sous forme fractionnaire académique, elle s’écrit $\frac{40}{1}$.
Conclusion : Le biologiste a réalisé un agrandissement magistral. La photo du livre est $40$ fois plus grande que le misérable insecte véritable. L’échelle est de $\frac{40}{1}$.