La Puissance d’un Nombre Relatif – Cours 1ère Année Collège

Cours : La Puissance d’un Nombre Relatif
La Puissance d’un Nombre Relatif

Puissance d’un nombre relatif

Définition
Soit $a$ un nombre relatif et $n$ un entier supérieur ou égal à 1. La puissance $n$-ième de $a$, notée $a^n$, est le produit de $n$ facteurs tous égaux à $a$. $$ a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ facteurs}} $$ $a$ est appelé la base et $n$ est appelé l’exposant.
Exemple
$5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^4$
$(-2) \times (-2) \times (-2) = (-2)^3$
$4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64$
Cas particuliers
Pour tout nombre relatif $a$ non nul :
  • $a^1 = a$
  • $a^0 = 1$
Exemple
$25,3^1 = 25,3$
$(-5)^0 = 1$

Propriétés des puissances

Propriétés
Soient $a$ et $b$ des nombres relatifs non nuls, et $m$ et $n$ des entiers naturels.
  • Produit de puissances de même base : $a^m \times a^n = a^{m+n}$
  • Produit de puissances de même exposant : $a^m \times b^m = (a \times b)^m$
  • Quotient de puissances de même base : $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
  • Quotient de puissances de même exposant : $\frac{a^m}{b^m} = (\frac{a}{b})^m$
  • Puissance d’une puissance : $(a^m)^n = a^{m \times n}$
Exemple
$13^{10} \times 13^5 = 13^{10+5} = 13^{15}$
$14^3 \times 2^3 = (14 \times 2)^3 = 28^3$
$\frac{9^4}{9^3} = 9^{4-3} = 9^1 = 9$
$(8^{11})^4 = 8^{11 \times 4} = 8^{44}$

Signe d’une puissance

Règle
Le signe d’une puissance d’un nombre relatif dépend de la base et de l’exposant.
  • Une puissance d’un nombre positif est toujours positive.
  • Une puissance d’un nombre négatif est :
    • Positive si l’exposant est pair.
    • Négative si l’exposant est impair.
Exemple
PuissanceSigne
$(-4)^6$Positif (base négative, exposant pair)
$37^9$Positif (base positive)
$(-5,3)^7$Négatif (base négative, exposant impair)
$16,8^2$Positif (base positive)

Les puissances de 10

Définition
Pour tout entier naturel $n$ non nul : $$ 10^n = \underbrace{10 \times \dots \times 10}_{n \text{ fois}} = 1\underbrace{00\dots0}_{n \text{ zéros}} $$
Exemple
$10^1 = 10$
$10^2 = 100$
$10^6 = 1\,000\,000$
Application
  1. Écrire sous la forme $a^n$ :
    • $3 \times 3 \times 3 \times 3$
    • $(-9) \times (-9) \times (-9)$
  2. Calculer les puissances suivantes :
    • $4^2$
    • $(-8)^2$
    • $3^3$
    • $2^5$
Application
Écrire sous la forme d’une seule puissance $a^n$ :
  • $9^4 \times 9^{15}$
  • $14^8 \times 2^8$
  • $\frac{24^7}{5^7}$
  • $(-7)^3 \times (-7)^{12}$
Application
Compléter le tableau suivant avec le signe de la puissance :
Puissance$11^4$$(-25)^6$$(-1)^7$$-(-3)^8$$9^0$
Signe
Application
Écrire chaque produit sous la forme de $10^n$ :
  • $10^5 \times 10^{12}$
  • $10^8 \times 10$
  • $(10^4)^2 \times 10^6$
  • $1\,000\,000$
  • $1$
Remarque

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