Bienvenue dans cette leçon essentielle où nous allons découvrir les puissances, une façon astucieuse et rapide d’écrire des multiplications répétées.
À la fin de ce cours, vous saurez lire, écrire et calculer des nombres comme $5^3$ ou $10^4$ sans aucune difficulté.
Activité de découverte : Le pliage de papier
Imaginez que vous prenez une feuille de papier et que vous la pliez en deux. Vous obtenez alors 2 épaisseurs de papier.
Si vous repliez encore cette feuille en deux, vous aurez 2 fois 2 épaisseurs, soit 4 épaisseurs.
Si vous recommencez une troisième fois, vous aurez 2 fois 2 fois 2 épaisseurs, soit 8 épaisseurs.
Si vous continuez ainsi 10 fois de suite, le calcul devient très long à écrire : $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$.
Pour éviter d’écrire tous ces chiffres, les mathématiciens utilisent une écriture simplifiée appelée puissance. On écrit simplement $2^{10}$.
Cette notation signifie que le nombre 2 est multiplié par lui-même 10 fois. C’est le principe de base que nous allons étudier aujourd’hui.
Je retiens : Définition et vocabulaire
Soit $a$ un nombre et $n$ un nombre entier positif (plus grand que 1).
La puissance $n$ de $a$, notée $a^n$, correspond au produit de $n$ facteurs tous égaux à $a$.
On écrit :
$$a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ fois}}$$Dans l’écriture $a^n$ :
- $a$ est appelé la base.
- $n$ est appelé l’exposant.
Exemples concrets :
- $3^4$ se lit « 3 puissance 4 ». Cela vaut $3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$.
- $5^2$ se lit « 5 puissance 2 » ou « 5 au carré ». Cela vaut $5 \times 5 = 25$.
- $2^3$ se lit « 2 puissance 3 » ou « 2 au cube ». Cela vaut $2 \times 2 \times 2 = 8$.
Cas particuliers importants
Il y a deux règles simples à retenir par cœur pour commencer :
1. La puissance 1 : Tout nombre élevé à la puissance 1 est égal à lui-même.
Exemple : $7^1 = 7$ ; $100^1 = 100$.
2. La puissance 0 : Tout nombre (différent de 0) élevé à la puissance 0 est égal à 1.
Exemple : $5^0 = 1$ ; $12^0 = 1$.
Cela peut paraître étrange, mais c’est une convention mathématique très utile que nous utiliserons souvent plus tard.
Les carrés et les cubes parfaits
En 1ère année de collège, il est très important de connaître par cœur les résultats des petites puissances, surtout les carrés et les cubes.
Cela vous fera gagner un temps précieux lors des calculs.
Tableau des carrés (puissance 2)
Un nombre au carré signifie qu’on le multiplie par lui-même une fois.
- $1^2 = 1 \times 1 = 1$
- $2^2 = 2 \times 2 = 4$
- $3^2 = 3 \times 3 = 9$
- $4^2 = 4 \times 4 = 16$
- $5^2 = 5 \times 5 = 25$
- $6^2 = 6 \times 6 = 36$
- $7^2 = 7 \times 7 = 49$
- $8^2 = 8 \times 8 = 64$
- $9^2 = 9 \times 9 = 81$
- $10^2 = 10 \times 10 = 100$
Tableau des cubes (puissance 3)
Un nombre au cube signifie qu’on le multiplie par lui-même deux fois (trois facteurs au total).
- $1^3 = 1 \times 1 \times 1 = 1$
- $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$
- $3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27$
- $4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64$
- $5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125$
- $10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1\,000$
Essayez de mémoriser ces valeurs, elles reviennent très souvent dans les exercices !
Attention : Pièges à éviter absolument
Lorsque vous débutez avec les puissances, faites très attention à ne pas confondre la puissance avec la multiplication simple.
- Erreur fréquente 1 : Penser que $3^2 = 6$.
Faux ! $3^2$ signifie $3 \times 3$, donc le résultat est 9.
$3 \times 2$ donnerait 6, mais ici l’exposant indique une multiplication du nombre par lui-même. - Erreur fréquente 2 : Penser que $2^3 = 6$.
Faux ! $2^3$ signifie $2 \times 2 \times 2$.
$2 \times 2 = 4$, puis $4 \times 2 = 8$. Le résultat est 8. - Erreur fréquente 3 : Confondre la base et l’exposant.
$2^3$ n’est pas égal à $3^2$.
$2^3 = 8$ tandis que $3^2 = 9$. L’ordre compte beaucoup !
Rappelez-vous toujours : l’exposant dit combien de fois on écrit la base dans la multiplication.
Les puissances de 10
Les puissances de 10 sont très utiles pour écrire facilement des grands nombres avec beaucoup de zéros.
Règle simple
Pour tout nombre entier positif $n$ :
$10^n$ est égal au chiffre 1 suivi de $n$ zéros.
Exemples :
- $10^1 = 10$ (1 suivi de 1 zéro)
- $10^2 = 100$ (1 suivi de 2 zéros)
- $10^3 = 1\,000$ (1 suivi de 3 zéros)
- $10^4 = 10\,000$ (1 suivi de 4 zéros)
- $10^6 = 1\,000\,000$ (un million, 1 suivi de 6 zéros)
Cette notation permet d’écrire rapidement des grands nombres sans se tromper dans le comptage des zéros.
Exercices d’application progressifs
Voici une série d’exercices pour vérifier que vous avez bien compris la leçon sur les puissances.
Série 1 : Écriture et vocabulaire
Exercice 1 : Écrivez les produits suivants sous forme de puissance :
a) $4 \times 4 \times 4$
b) $7 \times 7$
c) $10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10$
d) $2 \times 2 \times 2 \times 2$
Exercice 2 : Pour chaque puissance suivante, identifiez la base et l’exposant :
$A = 5^3$ ; $B = 9^2$ ; $C = 12^4$ ; $D = 10^6$.
Exercice 3 : Comment lit-on les expressions suivantes ?
$3^2$ ; $8^3$ ; $6^4$.
Série 2 : Calculs directs
Exercice 4 : Calculez la valeur des nombres suivants :
$a = 2^3$ ; $b = 3^2$ ; $c = 4^2$ ; $d = 1^5$ ; $e = 10^3$.
Exercice 5 : Complétez les égalités suivantes :
$…^2 = 36$
$…^3 = 8$
$5^… = 125$
$…^2 = 100$
Exercice 6 : Attention aux pièges ! Calculez et comparez :
a) $2 \times 3$ et $2^3$
b) $3 \times 2$ et $3^2$
c) $4 + 4$ et $4^2$
Série 3 : Puissances de 10 et problèmes
Exercice 7 : Écrivez sous forme décimale (avec des chiffres) :
$10^2$ ; $10^5$ ; $10^7$.
Exercice 8 : Combien de zéros y a-t-il dans l’écriture décimale de $10^{12}$ ?
Exercice 9 (Problème de géométrie) : Un cube a une arête de longueur 3 cm.
a) Quelle est l’aire d’une face de ce cube ? (Rappel : Aire d’un carré = côté $\times$ côté).
b) Quel est le volume de ce cube ? (Rappel : Volume d’un cube = côté $\times$ côté $\times$ côté).
Exprimez vos réponses en utilisant une puissance.
Exercice 10 (Défi) : Trouvez le nombre mystère.
Je suis un nombre entier. Si on m’élève au carré, on obtient 64. Qui suis-je ? (Il y a deux réponses possibles si on connaît les nombres négatifs, mais donnez la réponse positive pour l’instant).
Corrections détaillées et justifiées
Voici les corrections complètes. Vérifiez vos résultats étape par étape.
Correction Série 1
Correction Exercice 1 :
a) $4 \times 4 \times 4$ : Le nombre 4 est répété 3 fois. Donc $4^3$.
b) $7 \times 7$ : Le nombre 7 est répété 2 fois. Donc $7^2$.
c) $10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10$ : Le nombre 10 est répété 5 fois. Donc $10^5$.
d) $2 \times 2 \times 2 \times 2$ : Le nombre 2 est répété 4 fois. Donc $2^4$.
Correction Exercice 2 :
Pour $A = 5^3$ : La base est 5, l’exposant est 3.
Pour $B = 9^2$ : La base est 9, l’exposant est 2.
Pour $C = 12^4$ : La base est 12, l’exposant est 4.
Pour $D = 10^6$ : La base est 10, l’exposant est 6.
Correction Exercice 3 :
$3^2$ se lit « 3 au carré » ou « 3 puissance 2 ».
$8^3$ se lit « 8 au cube » ou « 8 puissance 3 ».
$6^4$ se lit « 6 puissance 4 ».
Correction Série 2
Correction Exercice 4 :
$a = 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$.
$b = 3^2 = 3 \times 3 = 9$. (Attention, ce n’est pas 6 !).
$c = 4^2 = 4 \times 4 = 16$.
$d = 1^5 = 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 = 1$. (1 multiplié tant de fois reste 1).
$e = 10^3 = 1\,000$.
Correction Exercice 5 :
$…^2 = 36$ : Quel nombre fois lui-même donne 36 ? C’est 6, car $6 \times 6 = 36$. Réponse : $6^2 = 36$.
$…^3 = 8$ : Quel nombre multiplié 3 fois donne 8 ? C’est 2, car $2 \times 2 \times 2 = 8$. Réponse : $2^3 = 8$.
$5^… = 125$ : On sait que $5 \times 5 = 25$ et $25 \times 5 = 125$. Il y a trois facteurs 5. Réponse : $5^3 = 125$.
$…^2 = 100$ : Quel nombre au carré donne 100 ? C’est 10. Réponse : $10^2 = 100$.
Correction Exercice 6 :
a) $2 \times 3 = 6$ et $2^3 = 8$. Donc $2 \times 3 < 2^3$.
b) $3 \times 2 = 6$ et $3^2 = 9$. Donc $3 \times 2 < 3^2$.
c) $4 + 4 = 8$ et $4^2 = 16$. Donc $4 + 4 < 4^2$.
Conclusion : La puissance donne souvent un résultat beaucoup plus grand que la multiplication ou l’addition simple.
Correction Série 3
Correction Exercice 7 :
$10^2 = 100$ (1 suivi de 2 zéros).
$10^5 = 100\,000$ (1 suivi de 5 zéros).
$10^7 = 10\,000\,000$ (1 suivi de 7 zéros, c’est dix millions).
Correction Exercice 8 :
Dans $10^{12}$, l’exposant est 12. Selon la règle, il y a donc exactement 12 zéros après le chiffre 1.
Correction Exercice 9 :
Le côté du cube est $c = 3$.
a) L’aire d’une face est un carré de côté 3.
Calcul : $3 \times 3 = 3^2 = 9$.
L’aire est de $9 \text{ cm}^2$.
b) Le volume du cube est le côté multiplié 3 fois.
Calcul : $3 \times 3 \times 3 = 3^3 = 27$.
Le volume est de $27 \text{ cm}^3$.
Correction Exercice 10 :
On cherche un nombre qui, multiplié par lui-même, donne 64.
Dans notre table des carrés, nous avons vu que $8 \times 8 = 64$.
Donc le nombre est 8.
(Note pour plus tard : $(-8) \times (-8)$ donne aussi 64, mais en 1ère année, on retient principalement la solution positive 8).
Félicitations ! Vous avez terminé cette introduction aux puissances. En apprenant vos tables de carrés et de cubes, vous deviendrez très rapides en calcul mental.