Le Parallélogramme
Définition
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.
Exemple
Si ABCD est un parallélogramme, alors (AB) // (CD) et (AD) // (BC).
Propriétés des côtés et des angles
Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors :
- Ses côtés opposés ont la même longueur. (AB = CD et AD = BC)
- Ses angles opposés ont la même mesure. ($\hat{A} = \hat{C}$ et $\hat{B} = \hat{D}$)
- Ses angles consécutifs sont supplémentaires. ($\hat{A} + \hat{B} = 180^{\circ}$)
Propriété des diagonales
Un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales se coupent en leur milieu. Ce milieu est le centre de symétrie du parallélogramme.
Activité
- Place trois points non alignés A, B et O.
- Construis le point C, symétrique de A par rapport à O.
- Construis le point D, symétrique de B par rapport à O.
- Quelle est la nature du quadrilatère ACBD ? Justifie en utilisant les propriétés des diagonales.
Le Rectangle
Définition
Un rectangle est un quadrilatère qui possède quatre angles droits.
Remarque
Un rectangle est un parallélogramme particulier. Il possède donc toutes les propriétés du parallélogramme.
Propriété des diagonales
Un parallélogramme est un rectangle si et seulement si ses diagonales ont la même longueur.
Exemple
Application
ABCD est un parallélogramme tel que $\widehat{DAB} = 90^{\circ}$. Démontrer que ABCD est un rectangle.
Correction de l’application
On sait que ABCD est un parallélogramme. Une propriété des parallélogrammes est que les angles consécutifs sont supplémentaires.
Donc, $\widehat{DAB} + \widehat{ABC} = 180^{\circ}$.
$90^{\circ} + \widehat{ABC} = 180^{\circ}$, donc $\widehat{ABC} = 90^{\circ}$.
Une autre propriété est que les angles opposés sont égaux. Donc, $\widehat{BCD} = \widehat{DAB} = 90^{\circ}$ et $\widehat{CDA} = \widehat{ABC} = 90^{\circ}$. Le quadrilatère ABCD a quatre angles droits, c’est donc un rectangle.
Une autre propriété est que les angles opposés sont égaux. Donc, $\widehat{BCD} = \widehat{DAB} = 90^{\circ}$ et $\widehat{CDA} = \widehat{ABC} = 90^{\circ}$. Le quadrilatère ABCD a quatre angles droits, c’est donc un rectangle.
Le Losange
Définition
Un losange est un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur.
Remarque
Un losange est un parallélogramme particulier.
Propriété des diagonales
Un parallélogramme est un losange si et seulement si ses diagonales sont perpendiculaires.
Exemple
Le Carré
Définition
Un carré est un quadrilatère qui est à la fois un rectangle et un losange.
Propriétés
Un carré possède toutes les propriétés du parallélogramme, du rectangle et du losange. Ses diagonales sont de même longueur, se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires.
Exemple
Remarque
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