Les Équations
I. Égalité et opérations
Activité
Une balance est en équilibre. Le plateau de gauche contient 3 boîtes identiques de masse $x$ et une masse de 100g. Le plateau de droite contient une masse de 200g et une boîte de masse $x$.
- Écrire l’égalité (l’équation) qui traduit cette situation d’équilibre.
- Si on retire une boîte de masse $x$ de chaque plateau, la balance reste-t-elle en équilibre ? Quelle nouvelle égalité obtient-on ?
- À partir de cette nouvelle situation, si on retire 100g de chaque plateau, que se passe-t-il ? Quelle est l’égalité finale ?
- En déduire la masse $x$ d’une boîte.
Propriété
Soient $a, b$ et $c$ trois nombres relatifs.
- Si on ajoute (ou soustrait) un même nombre aux deux membres d’une égalité, on obtient une nouvelle égalité. $$ a = b \quad \text{équivaut à} \quad a+c = b+c $$ $$ a = b \quad \text{équivaut à} \quad a-c = b-c $$
- Si on multiplie (ou divise) les deux membres d’une égalité par un même nombre non nul, on obtient une nouvelle égalité. $$ a = b \quad \text{équivaut à} \quad a \times c = b \times c $$ $$ a = b \quad \text{équivaut à} \quad \frac{a}{c} = \frac{b}{c} \quad (\text{avec } c \neq 0) $$
II. Équations du premier degré à une inconnue
Définition
Une équation du premier degré à une inconnue est une égalité qui peut être écrite sous la forme $ax+b=c$ (ou une forme équivalente), où $a, b, c$ sont des nombres connus et $x$ est l’inconnue.
Résolution
Résoudre une équation, c’est trouver toutes les valeurs que l’on peut donner à l’inconnue pour que l’égalité soit vraie. Chaque valeur est une solution de l’équation.
Règle de Résolution
- Équation de type $x+b=c$ : Pour isoler $x$, on soustrait $b$ des deux côtés. La solution est $x = c-b$.
- Équation de type $ax=b$ (avec $a \neq 0$) : Pour isoler $x$, on divise les deux côtés par $a$. La solution est $x = \frac{b}{a}$.
Application
Résoudre les équations suivantes :
- $5x – 3 = 2$
- $3x + 5 = x – 1$
- $2(x + 1) = x – 5$
Correction de l’application
- $5x – 3 = 2$
$5x = 2 + 3$
$5x = 5$
$x = \frac{5}{5} = 1$. La solution est 1. - $3x + 5 = x – 1$
$3x – x = -1 – 5$
$2x = -6$
$x = \frac{-6}{2} = -3$. La solution est -3. - $2(x + 1) = x – 5$
$2x + 2 = x – 5$
$2x – x = -5 – 2$
$x = -7$. La solution est -7.
III. Mise en équation d’un problème
Méthodologie
Pour résoudre un problème à l’aide d’une équation, on suit généralement ces étapes :
- Choix de l’inconnue : Identifier ce que l’on cherche et le nommer par une lettre (souvent $x$).
- Mise en équation : Traduire l’énoncé du problème par une égalité (une équation) contenant l’inconnue.
- Résolution de l’équation : Résoudre l’équation obtenue à l’étape précédente.
- Conclusion : Revenir au problème initial et formuler la réponse avec une phrase claire.
- Vérification : S’assurer que la solution trouvée est cohérente avec l’énoncé du problème.
Application
Imad a acheté une calculatrice et un livre. Le livre a coûté deux fois plus cher que la calculatrice. Imad a payé 45 DH au total.
Calculer le prix de chaque article.
Correction de l’application
- Choix de l’inconnue : Soit $x$ le prix de la calculatrice en DH. Le livre coûte deux fois plus cher, donc son prix est $2x$.
- Mise en équation : Le prix total est la somme du prix de la calculatrice et du prix du livre. $$ x + 2x = 45 $$
- Résolution de l’équation :
$3x = 45$
$x = \frac{45}{3}$
$x = 15$. - Conclusion : Le prix de la calculatrice est de 15 DH. Le prix du livre est $2x = 2 \times 15 = 30$ DH.
- Vérification : Le coût total est $15 + 30 = 45$ DH. Cela correspond bien au montant payé par Imad.
Remarque
Ces cours sont disponibles en format PDF et les fichiers sources LaTeX peuvent être achetés. Contactez-nous pour plus d’informations.