Quiz : Ordre d’un groupe et d’un élément
Ce quiz teste votre compréhension de deux concepts fondamentaux de la théorie des groupes : l’ordre d’un groupe et l’ordre d’un élément.
- L’ordre d’un groupe fini $G$, noté $|G|$, est simplement le nombre d’éléments qu’il contient.
- L’ordre d’un élément $a \in G$, noté $o(a)$, est le plus petit entier $n \ge 1$ tel que $a^n = e$ (l’élément neutre).
Rappelez-vous le Théorème de Lagrange : l’ordre de tout sous-groupe $H$ de $G$ doit diviser l’ordre de $G$. Par conséquent, l’ordre de tout élément $a$ doit aussi diviser $|G|$ (car $o(a) = |\langle a \rangle|$).
Quiz terminé !
Félicitations ! Vous avez terminé ce test sur l’ordre des groupes et des éléments.
Points clés à retenir :
- L’ordre d’un groupe est son cardinal, $|G|$.
- L’ordre d’un élément $a$, $o(a)$, est le plus petit exposant positif $n$ tel que $a^n=e$.
- L’ordre d’un élément divise toujours l’ordre du groupe (Théorème de Lagrange).