Test : Groupes cycliques et générateurs
Un groupe $(G, *)$ est dit cyclique s’il peut être engendré par un seul élément $a \in G$. On écrit alors $G = \langle a \rangle = \{a^k \mid k \in \mathbb{Z}\}$.
- L’élément $a$ est appelé un générateur du groupe.
- Tout groupe cyclique est commutatif (Abélien).
- Tous les sous-groupes d’un groupe cyclique sont eux-mêmes cycliques.
Dans un groupe cyclique d’ordre $n$, le nombre de générateurs est donné par l’indicatrice d’Euler, $\phi(n)$.
Quiz terminé !
Vous avez testé vos connaissances sur les groupes cycliques. Les groupes cycliques sont les plus simples à analyser et servent souvent de base pour comprendre des structures de groupe plus complexes.
Pensez toujours à $\mathbb{Z}$ et $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ comme modèles des groupes cycliques infinis et finis, respectivement.