Test : Homomorphisme de groupes (Propriétés)

Question 1 : Si $f: G \to H$ est un homomorphisme, $e_G$ l’élément neutre de $G$ et $e_H$ celui de $H$, alors $f(e_G)$ est égal à…

$e_G$. $e_H$. $f(e_G^{-1})$. Un élément quelconque de $H$.

Question 2 : Le noyau $\text{Ker}(f)$ d’un homomorphisme $f: G \to H$ est toujours un sous-groupe…

Normal (distingué) de $G$. De $H$ (l’ensemble d’arrivée). Cyclique. Du centre de $G$.

Question 3 : L’image $\text{Im}(f)$ d’un homomorphisme $f: G \to H$ est toujours un sous-groupe…

De $G$ (l’ensemble de départ). Normal (distingué) de $H$. De $H$ (l’ensemble d’arrivée). Cyclique.

Question 4 : Un homomorphisme $f: G \to H$ est injectif (monomorphisme) si et seulement si…

$\text{Ker}(f) = H$. $\text{Im}(f) = H$. $\text{Ker}(f) = \{e_G\}$. $|G| = |H|$.

Question 5 : Si $f: G \to H$ est un homomorphisme et $g \in G$, quelle relation est correcte ?

$f(g^{-1}) = f(g)^{-1}$. $f(g^{-1}) = f(g)$. $f(g^{-1}) = e_H$. $f(g^{-1}) = g$.

Question 6 : Si $f: G \to H$ est un homomorphisme, et $g \in G$ a pour ordre $n = o(g)$, alors l’ordre de $f(g)$ dans $H$…

…doit être égal à $n$. …doit être un diviseur de $n$. …doit être un multiple de $n$. …est toujours 1.

Question 7 : Si $f: G \to H$ est surjectif (épimorphisme), alors le groupe quotient $G/\text{Ker}(f)$ est isomorphe à…

$\text{Ker}(f)$. $H$. $G$. Le groupe trivial $\{e_H\}$.

Question 8 : Soit $f: G \to H$ un isomorphisme. Alors la fonction réciproque $f^{-1}: H \to G$ est…

Seulement une fonction bijective. Aussi un isomorphisme de groupes. Un homomorphisme, mais pas forcément bijectif. Toujours l’identité.

Question 9 : Quel homomorphisme est toujours un isomorphisme ?

Le morphisme nul $f(g) = e_H$. L’identité $\text{id}_G: G \to G$. Le morphisme de projection $\pi: G \to G/\text{Ker}(f)$. Le morphisme signature $\text{sgn}: S_n \to \{\pm 1\}$.

Question 10 : Si $G$ est cyclique et $f: G \to H$ est un épimorphisme (surjectif), alors $H$ est…

Cyclique. Abélien mais pas forcément cyclique. D’ordre égal à l’ordre de $G$. Un groupe simple.

Test : Homomorphisme de groupes (Propriétés)

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