Test : Anneau commutatif ou non ?

Un anneau $(A, +, \cdot)$ est dit commutatif si sa loi de multiplication $\cdot$ est commutative.

Rappel : La loi d’addition $+$ doit toujours être commutative (groupe Abélien).

Question 1 : Un anneau $(A, +, \cdot)$ est dit commutatif si…

$(A, +)$ est Abélien. La loi $\cdot$ est commutative. Il n’a pas de diviseurs de zéro.

Question 2 : L’anneau $(\mathbb{Z}, +, \times)$ (entiers) est-il commutatif ?

Oui, car $a \times b = b \times a$ est toujours vrai. Non, car il n’est pas un Corps. Seulement pour les nombres pairs.

Question 3 : L’anneau $M_3(\mathbb{R})$ (matrices $3 \times 3$) est-il commutatif ?

Oui, toujours. Seulement si l’anneau de base est commutatif. Non, car la multiplication matricielle n’est pas commutative.

Question 4 : L’anneau $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +, \times)$ est-il commutatif ?

Oui, toujours. Non, si $n$ n’est pas premier. Seulement si $n=2$.

Question 5 : Si $A$ est un Corps (Field), la loi de multiplication $\cdot$ est-elle commutative ?

Non, cela dépend du corps. Oui, par définition d’un Corps. Seulement si le corps est de caractéristique 0.

Question 6 : Soit $A$ un anneau unitaire. Si tous ses éléments sont inversibles, $A$ est-il nécessairement commutatif ?

Oui, c’est un Corps par définition. Non, c’est un Anneau à division (Corps gauche) qui peut être non commutatif. Non, car il peut avoir des diviseurs de zéro.

Question 7 : Dans un anneau $A$, l’addition $+$ est-elle toujours commutative ?

Oui, par définition de l’anneau ($(A, +)$ doit être Abélien). Non, sauf si $A$ est un Corps. Seulement si $A$ est commutatif.

Question 8 : L’anneau des fonctions continues $C(\mathbb{R})$ (avec $(f+g)(x)$ et $(f \cdot g)(x)$ usuels) est-il commutatif ?

Oui, car le produit de fonctions est commutatif ($f(x)g(x)=g(x)f(x)$). Non, car la composition de fonctions n’est pas commutative. Seulement si les fonctions sont des constantes.

Question 9 : Le centre d’un anneau $Z(A) = \{z \in A \mid \forall a \in A, za=az\}$. Si $Z(A) = A$, alors $A$ est…

Un Corps. Commutatif. Intègre.

Question 10 : L’anneau des polynômes $\mathbb{R}[X]$ est-il commutatif ?

Non, seulement l’anneau $\mathbb{R}$ est commutatif. Oui, car la multiplication des polynômes est commutative. Seulement pour les polynômes de degré 1.

Quiz terminé !

Félicitations ! La distinction entre un anneau commutatif et un anneau non-commutatif est cruciale.

Les matrices ($M_n(R)$ pour $n \ge 2$) et les quaternions sont les exemples classiques d’anneaux non-commutatifs.

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