Test : Anneau quotient (Construction)

Question 1 : Si $A$ est un anneau et $I$ un idéal, l’anneau quotient $A/I$ est défini comme l’ensemble des…

… classes d’équivalence de $A$ modulo $I$. … sous-anneaux de $A$ contenant $I$. … idéaux premiers de $A$ qui contiennent $I$.

Question 2 : La relation d’équivalence sur $A$ utilisée pour construire $A/I$ est $a \sim b$ si et seulement si :

$a-b \in I$ $a+b \in I$ $a \cdot b \in I$

Question 3 : Dans l’anneau quotient $A/I$, la classe d’équivalence de l’élément $a \in A$ se note :

$a \cdot I$ $a + I$ $I / a$

Question 4 : La loi d’addition dans $A/I$ est définie par la formule :

$(a+I) + (b+I) = (a \cdot b) + I$ $(a+I) + (b+I) = (a+b) + I$ $(a+I) + (b+I) = a \cdot I + b \cdot I$

Question 5 : La loi de multiplication dans $A/I$ est définie par la formule :

$(a+I) \cdot (b+I) = (a \cdot b) + I$ $(a+I) \cdot (b+I) = (a+b) + I$ $(a+I) \cdot (b+I) = a + b + I$

Question 6 : Quel est l’élément neutre pour l’addition dans l’anneau quotient $A/I$ ?

$1 + I$ $0 + I$ (qui est égal à l’idéal $I$ lui-même) La classe de tout élément $a \in I$.

Question 7 : Quel est l’élément neutre pour la multiplication dans l’anneau quotient $A/I$ ?

$0 + I$ $1 + I$ L’idéal $I$.

Question 8 : L’anneau quotient $A/I$ est un corps si et seulement si l’idéal $I$ est :

Principal. Premier. Maximal.

Question 9 : L’anneau quotient $A/I$ est un anneau intègre si et seulement si l’idéal $I$ est :

Principal. Premier. Maximal.

Question 10 : L’anneau quotient $\mathbb{Z}/\langle 6 \rangle$ est-il un anneau intègre ?

Oui, car $\mathbb{Z}$ est un anneau intègre. Oui, car l’idéal $\langle 6 \rangle$ est principal. Non, car $\langle 6 \rangle$ n’est pas un idéal premier.

Quiz : Anneau Quotient (Construction)

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