Quizz : Qu’est-ce qu’un corps (Field) ?

Question 1 : Quelle est la propriété essentielle qui distingue un Corps $K$ d’un simple anneau commutatif unitaire ?

La multiplication est associative. Tout élément non nul possède un inverse multiplicatif. Il ne contient aucun diviseur de zéro.

Question 2 : Un Corps est-il toujours un anneau intègre ?

Non, seulement si le corps est de caractéristique 0. Non, car la divisibilité n’est pas toujours définie. Oui, un corps est toujours un anneau intègre.

Question 3 : Dans l’anneau $\mathbb{Z}_5 = \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$, quel est l’inverse multiplicatif de la classe de $2$, soit $\bar{2}$ ?

$\bar{3}$ $\bar{2}$ $\bar{1}$

Question 4 : Quel est le seul idéal d’un corps $K$ ?

L’idéal principal $\langle 1 \rangle = K$ L’idéal nul $\langle 0 \rangle$ L’idéal nul $\langle 0 \rangle$ et l’idéal total $K$

Question 5 : Quel anneau intègre n’est pas un corps ?

L’anneau $\mathbb{R}$ des nombres réels. L’anneau $\mathbb{Z}$ des nombres entiers. L’anneau $\mathbb{Q}$ des nombres rationnels.

Question 6 : Si $K$ est un corps, alors l’anneau de polynômes $K[X]$ est toujours :

Un anneau de Boole. Un anneau euclidien. Un anneau non-commutatif.

Question 7 : Dans un corps $K$, si $a \cdot b = 0$, que peut-on affirmer ?

$a$ est une unité de l’anneau. $a=0$ ou $b=0$. $a$ et $b$ sont des éléments premiers.

Question 8 : Quel est le corps $\mathbb{R}[X] / \langle X^2+1 \rangle$ isomorphe à ?

L’anneau $\mathbb{R}$ des réels. L’anneau $\mathbb{C}$ des complexes. L’anneau de polynômes $\mathbb{R}[X]$.

Question 9 : Pour quel $n \in \mathbb{N}$ l’anneau $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est-il un corps ?

Pour tout $n \geq 2$. Uniquement si $n$ est un nombre premier. Uniquement si $n$ est une puissance de 2.

Question 10 : Si $A$ est un anneau commutatif, $A/\mathfrak{m}$ est un corps si et seulement si $\mathfrak{m}$ est :

Un idéal principal. Un idéal premier. Un idéal maximal.

Quiz : Qu’est-ce qu’un Corps (Field) ?

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