Bienvenue dans cette leçon essentielle où nous allons maîtriser la présentation et comparaison des nombres relatifs, une notion fondamentale pour réussir vos mathématiques au collège.
Dès aujourd’hui, vous allez découvrir comment ces nombres, parfois négatifs, structurent notre monde, de la température extérieure à votre solde bancaire.
Activité de découverte : Plongée dans les nombres relatifs
Pour comprendre l’utilité des nombres relatifs, imaginons une situation concrète que vous connaissez tous : la météo et les étages d’un immeuble.
Imaginez un thermomètre affichant $5^\circ\text{C}$ au-dessus de zéro. S’il fait très froid, il peut afficher $3^\circ\text{C}$ en dessous de zéro. Comment noter cela mathématiquement ?
De même, dans un grand immeuble, vous êtes au rez-de-chaussée (niveau 0). Si vous montez deux étages, vous êtes au niveau 2. Si vous descendez au sous-sol pour chercher votre vélo, vous êtes au niveau -1 ou -2.
Ces nombres qui peuvent être positifs ou négatifs s’appellent des nombres relatifs. Ils sont indispensables pour repérer une position par rapport à un point de référence, souvent le zéro.
Dans cette activité, nous allons observer comment on note ces valeurs et comment on peut les ranger du plus petit au plus grand.
Je retiens : Définition et présentation des nombres relatifs
Un nombre relatif est constitué de deux éléments indissociables :
- Un signe : il peut être positif ($+$) ou négatif ($-$).
- Une distance à zéro : c’est un nombre décimal positif (aussi appelé partie numérique).
Par exemple, dans le nombre $(-7)$, le signe est moins ($-$) et la distance à zéro est $7$.
Dans le nombre $(+4,5)$, le signe est plus ($+$) et la distance à zéro est $4,5$.
La règle du signe positif
Il existe une convention importante à retenir pour alléger l’écriture. Lorsqu’un nombre relatif est positif, on peut omettre le signe « $+$ » et les parenthèses.
Ainsi, écrire $(+5)$ revient exactement à écrire $5$. Le nombre $5$ est donc un nombre relatif positif.
En revanche, le signe « $-$ » est obligatoire pour les nombres négatifs. On ne peut jamais écrire $-5$ sans le signe moins, car cela deviendrait le nombre $5$.
Repérage sur une droite graduée
Pour visualiser la présentation et comparaison des nombres relatifs, la droite graduée est l’outil idéal.
Une droite graduée possède trois caractéristiques :
- Une origine : le point repéré par le nombre $0$.
- Un sens positif : généralement vers la droite (indiqué par une flèche).
- Une unité de longueur : régulière, reportée de part et d’autre de l’origine.
Sur cette droite :
- Les nombres positifs se placent à droite de l’origine.
- Les nombres négatifs se placent à gauche de l’origine.
Chaque point de la droite est repéré par un nombre relatif appelé son abscisse.
Méthodes et exemples résolus : Comparer deux nombres relatifs
Comparer deux nombres relatifs signifie déterminer lequel est le plus petit et lequel est le plus grand. On utilise les symboles $<$ (plus petit que) et $>$ (plus grand que).
Voici les trois règles d’or à connaître par cœur pour réussir la présentation et comparaison des nombres relatifs.
Règle 1 : Comparaison de deux nombres de signes contraires
La règle : Tout nombre négatif est toujours inférieur à tout nombre positif.
Autrement dit : Un nombre négatif est toujours plus petit qu’un nombre positif.
Exemple résolu 1 : Comparons $(-15)$ et $(+2)$.
- $(-15)$ est un nombre négatif.
- $(+2)$ est un nombre positif.
- Conclusion : Le négatif est plus petit. Donc $(-15) < (+2)$.
Exemple résolu 2 : Comparons $(-0,5)$ et $(+0,1)$.
- Même si $0,5$ est « plus grand » que $0,1$ en valeur absolue, le signe commande ici.
- Le nombre négatif est toujours le plus petit.
- Conclusion : $(-0,5) < (+0,1)$.
Règle 2 : Comparaison de deux nombres positifs
La règle : Lorsque deux nombres relatifs sont positifs, le plus grand est celui qui a la plus grande distance à zéro.
C’est la comparaison classique que vous connaissez depuis l’école primaire.
Exemple résolu 3 : Comparons $(+7)$ et $(+12)$.
- Les deux nombres sont positifs.
- On compare les distances à zéro : $7$ et $12$.
- Comme $7 < 12$, alors $(+7) < (+12)$.
Exemple résolu 4 : Comparons $(+3,4)$ et $(+3,15)$.
- Attention aux nombres décimaux ! On aligne les virgules.
- $3,40$ est plus grand que $3,15$.
- Conclusion : $(+3,4) > (+3,15)$.
Règle 3 : Comparaison de deux nombres négatifs
La règle : Lorsque deux nombres relatifs sont négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite distance à zéro.
C’est souvent ici que les élèves font des erreurs. Plus un nombre négatif est « loin » de zéro (en étant très négatif), plus il est petit.
Imaginez les températures : $-20^\circ\text{C}$ est bien plus froid (donc plus petit) que $-5^\circ\text{C}$.
Exemple résolu 5 : Comparons $(-8)$ et $(-3)$.
- Les deux nombres sont négatifs.
- On compare les distances à zéro : $8$ et $3$.
- Comme $3 < 8$, alors le nombre avec la plus petite distance est le plus grand.
- Conclusion : $(-3) > (-8)$.
Exemple résolu 6 : Comparons $(-100)$ et $(-1)$.
- Les deux nombres sont négatifs.
- Distance à zéro de $(-100)$ est $100$.
- Distance à zéro de $(-1)$ est $1$.
- $1$ est plus petit que $100$, donc $(-1)$ est plus grand que $(-100)$.
- Conclusion : $(-1) > (-100)$.
Attention : Pièges à éviter absolument
Pour maîtriser la présentation et comparaison des nombres relatifs, soyez vigilants face à ces erreurs fréquentes :
- L’erreur du « plus grand chiffre » : Ne dites jamais que $(-15)$ est plus grand que $(-2)$ parce que $15$ est plus grand que $2$. C’est l’inverse ! Pour les négatifs, le plus grand chiffre indique le nombre le plus petit.
- L’oubli du signe : Quand vous recopiez un exercice, vérifiez toujours le signe devant le nombre. Un oubli transforme un nombre négatif en positif et fausse tout le résultat.
- La confusion entre ordre croissant et décroissant :
- Ranger dans l’ordre croissant signifie ranger du plus petit au plus grand.
- Ranger dans l’ordre décroissant signifie ranger du plus grand au plus petit.
Exercices d’application progressifs
Voici une série complète d’exercices pour vous entraîner. Prenez une feuille, un crayon et essayez de répondre avant de regarder les corrections plus bas.
Série 1 : Identification et vocabulaire
Exercice 1 : Parmi la liste suivante, identifiez les nombres relatifs positifs et les nombres relatifs négatifs :
$A = (+5)$ ; $B = (-3,2)$ ; $C = 7$ ; $D = (-10)$ ; $E = 0$ ; $F = (+0,5)$ ; $G = -15$.
Exercice 2 : Donnez le signe et la distance à zéro des nombres suivants :
$a = (-9)$ ; $b = (+4,5)$ ; $c = -12,3$ ; $d = 18$.
Exercice 3 : Simplifiez l’écriture des nombres suivants quand c’est possible :
$(+7)$ ; $(-5)$ ; $(+0)$ ; $(-0)$ ; $(+12,5)$.
Série 2 : Repérage sur une droite graduée
Exercice 4 : Tracez une droite graduée (unité : 1 cm). Placez les points suivants :
$A$ d’abscisse $(-3)$ ; $B$ d’abscisse $(+2)$ ; $C$ d’abscisse $(-1,5)$ ; $D$ d’abscisse $(+4)$ ; $E$ d’abscisse $(-4)$.
Exercice 5 : En utilisant la droite de l’exercice précédent, lisez les abscisses des points $F$ et $G$ sachant que $F$ est situé à 2,5 unités à gauche de zéro et $G$ est situé à 1 unité à droite de $B$.
Exercice 6 : Quel nombre relatif représente l’opposé de $(+5)$ ? Quel nombre relatif représente l’opposé de $(-8)$ ? Que remarquez-vous pour l’opposé de $0$ ?
Série 3 : Comparaison directe
Exercice 7 : Complétez les inégalités avec le symbole $<$ ou $>$ :
a) $(-7) \dots (+2)$
b) $(+5) \dots (+9)$
c) $(-3) \dots (-8)$
d) $(-12) \dots (-1)$
e) $(+0,1) \dots (-100)$
f) $(-4,5) \dots (-4,2)$
Exercice 8 : Rangez les nombres suivants dans l’ordre croissant (du plus petit au plus grand) :
$(-5)$ ; $(+2)$ ; $(-10)$ ; $0$ ; $(+7)$ ; $(-2)$.
Exercice 9 : Rangez les nombres suivants dans l’ordre décroissant (du plus grand au plus petit) :
$(-3,5)$ ; $(-3,1)$ ; $(-3,9)$ ; $(+1)$ ; $(-4)$.
Série 4 : Problèmes de la vie courante
Exercice 10 (Températures) : Voici les températures minimales relevées dans cinq villes un matin d’hiver :
Paris : $-2^\circ\text{C}$ ; Moscou : $-15^\circ\text{C}$ ; New York : $+3^\circ\text{C}$ ; Montréal : $-8^\circ\text{C}$ ; Dakar : $+22^\circ\text{C}$.
Quelle ville a connu la température la plus froide ? Quelle ville a connu la température la plus chaude ? Rangez ces températures de la plus froide à la plus chaude.
Exercice 11 (Ascenseur) : Un ascenseur part du rez-de-chaussée (0). Il monte de 3 étages, puis descend de 5 étages, puis remonte de 2 étages.
À quel étage se trouve-t-il maintenant ? Exprimez chaque étape avec un nombre relatif.
Exercice 12 (Plongée) : Un plongeur se situe à $-10$ mètres de profondeur. Il descend encore de $5$ mètres. Un autre plongeur est à $-12$ mètres. Lequel des deux est le plus proche de la surface (le niveau 0) ?
Exercice 13 (Banque) : Le solde du compte de Julie est de $-50$ euros (elle est à découvert). Elle dépose $80$ euros. Quel est son nouveau solde ? Est-il positif ou négatif ?
Exercice 14 (Encadrements) : Trouvez un nombre relatif entier compris entre :
a) $(-5)$ et $(-2)$
b) $(-1)$ et $(+1)$
c) $(-10,5)$ et $(-9,5)$
Exercice 15 (Défi logique) : Je suis un nombre relatif négatif. Ma distance à zéro est comprise entre $4$ et $7$. Je suis un nombre entier. Qui suis-je ? (Il y a plusieurs solutions possibles, trouvez-les toutes).
Corrections détaillées et justifiées
Voici les corrections complètes. Lisez attentivement les justifications pour comprendre la logique derrière chaque réponse.
Correction de la Série 1
Correction Exercice 1 :
Les nombres positifs (signe $+$ ou pas de signe) sont : $A=(+5)$, $C=7$, $F=(+0,5)$. Notez que $E=0$ est particulier, il n’est ni positif ni négatif.
Les nombres négatifs (signe $-$) sont : $B=(-3,2)$, $D=(-10)$, $G=-15$.
Correction Exercice 2 :
Pour $a = (-9)$ : Signe négatif ($-$), distance à zéro $9$.
Pour $b = (+4,5)$ : Signe positif ($+$), distance à zéro $4,5$.
Pour $c = -12,3$ : Signe négatif ($-$), distance à zéro $12,3$.
Pour $d = 18$ : C’est un nombre positif implicite $(+18)$. Signe positif ($+$), distance à zéro $18$.
Correction Exercice 3 :
$(+7)$ s’écrit simplement $7$.
$(-5)$ ne peut pas être simplifié, on garde $-5$.
$(+0)$ et $(-0)$ s’écrivent simplement $0$.
$(+12,5)$ s’écrit $12,5$.
Correction de la Série 2
Correction Exercice 4 :
Sur votre droite, l’origine est au centre.
$A$ est 3 carreaux (ou cm) à gauche de 0.
$B$ est 2 carreaux à droite de 0.
$C$ est à mi-chemin entre $-1$ et $-2$ (à gauche).
$D$ est 4 carreaux à droite.
$E$ est 4 carreaux à gauche.
Correction Exercice 5 :
$F$ est à 2,5 unités à gauche de zéro, donc son abscisse est $(-2,5)$.
$B$ est à $(+2)$. Si $G$ est 1 unité à droite de $B$, on fait $2 + 1 = 3$. L’abscisse de $G$ est $(+3)$.
Correction Exercice 6 :
L’opposé d’un nombre change son signe mais garde la même distance à zéro.
L’opposé de $(+5)$ est $(-5)$.
L’opposé de $(-8)$ est $(+8)$ (ou $8$).
L’opposé de $0$ est $0$ lui-même, car il n’a pas de signe.
Correction de la Série 3
Correction Exercice 7 :
a) $(-7) < (+2)$ : Un négatif est toujours plus petit qu'un positif.
b) $(+5) < (+9)$ : Deux positifs, $5$ est plus petit que $9$.
c) $(-3) > (-8)$ : Deux négatifs. La distance à zéro de $-3$ est $3$, celle de $-8$ est $8$. Comme $3 < 8$, alors $-3$ est plus grand (moins froid).
d) $(-12) < (-1)$ : Deux négatifs. $12 > 1$, donc $-12$ est plus petit.
e) $(+0,1) > (-100)$ : Positif > Négatif.
f) $(-4,5) < (-4,2)$ : Deux négatifs. Distance $4,5$ vs $4,2$. Comme $4,5 > 4,2$, le nombre $-4,5$ est plus petit.
Correction Exercice 8 (Ordre croissant) :
On cherche le plus petit (le plus négatif) pour commencer.
Le plus petit est $(-10)$. Ensuite vient $(-5)$, puis $(-2)$.
Puis on passe à $0$.
Enfin les positifs : $(+2)$ puis $(+7)$.
Résultat : $(-10) < (-5) < (-2) < 0 < (+2) < (+7)$.
Correction Exercice 9 (Ordre décroissant) :
On commence par le plus grand.
Le seul positif est le plus grand : $(+1)$.
Ensuite les négatifs : on cherche celui qui est le plus proche de zéro (le « moins négatif »).
C’est $(-3,1)$, puis $(-3,5)$, puis $(-3,9)$, et enfin le plus loin $(-4)$.
Résultat : $(+1) > (-3,1) > (-3,5) > (-3,9) > (-4)$.
Correction de la Série 4
Correction Exercice 10 :
Températures : Paris $(-2)$, Moscou $(-15)$, NY $(+3)$, Montréal $(-8)$, Dakar $(+22)$.
La plus froide est le nombre le plus petit : Moscou avec $(-15)$.
La plus chaude est le nombre le plus grand : Dakar avec $(+22)$.
Ordre croissant : $(-15) < (-8) < (-2) < (+3) < (+22)$.
Correction Exercice 11 :
Départ : $0$.
Monte de 3 : $0 + 3 = +3$ (3ème étage).
Descend de 5 : $(+3) + (-5)$. On passe par 0 et on descend de 2. On arrive à $(-2)$ (2ème sous-sol).
Remonte de 2 : $(-2) + (+2) = 0$.
L’ascenseur est revenu au rez-de-chaussée.
Correction Exercice 12 :
Plongeur 1 : $-10$ m. Il descend de 5 m $\rightarrow -10 + (-5) = -15$ m.
Plongeur 2 : $-12$ m.
Comparaison : $(-15)$ et $(-12)$.
Le plus proche de la surface (0) est le nombre le plus grand (le moins négatif).
$(-12) > (-15)$. C’est donc le deuxième plongeur qui est le plus proche de la surface.
Correction Exercice 13 :
Solde initial : $-50$ €.
Dépôt (ajout) : $+80$ €.
Calcul : $(-50) + (+80)$.
On peut voir cela comme : je rembourse mes 50€ de dette, il me reste $30$€ ($80 – 50 = 30$).
Nouveau solde : $+30$ €. Il est positif.
Correction Exercice 14 :
a) Entre $(-5)$ et $(-2)$, les entiers sont $(-4)$ et $(-3)$.
b) Entre $(-1)$ et $(+1)$, le seul entier est $0$.
c) Entre $(-10,5)$ et $(-9,5)$, le seul entier est $(-10)$.
Correction Exercice 15 :
Conditions : Nombre négatif, entier, distance entre 4 et 7.
Les distances entières entre 4 et 7 sont 5 et 6.
Comme le nombre est négatif, les solutions sont $(-5)$ et $(-6)$.
Félicitations ! Vous avez terminé cette leçon complète sur la présentation et comparaison des nombres relatifs. En révisant régulièrement ces règles et en refaisant les exercices, vous serez parfaitement prêts pour vos contrôles.