Quiz : Sous-corps (Caractérisation)

Ce quiz porte sur la notion de **Sous-corps** et les conditions minimales requises pour qu’un sous-ensemble $L$ d’un corps $K$ soit lui-même un corps.

Rappel : $L$ est un sous-corps de $K$ si $L$ est un sous-anneau unitaire de $K$ et si tout élément non nul de $L$ possède son inverse dans $L$.

Question 1 : Soit $K$ un corps. Un sous-ensemble $L \subseteq K$ est un sous-corps de $K$ si, muni des lois induites, $L$ lui-même est :

Un anneau intègre. Un groupe pour la multiplication. Un corps.

Question 2 : Pour qu’un sous-ensemble $L \subseteq K$ non vide soit un sous-corps, il doit contenir l’élément neutre de la multiplication. Quel est cet élément ?

$0_K$ $1_K$ Tout élément $a \in K$ tel que $a \ne 0$.

Question 3 : Soit $L$ un sous-ensemble non vide de $K$. La condition de stabilité pour l’addition et pour l’inversion additive (symétrique) permet d’affirmer que $L$ est un :

Sous-groupe du groupe additif $(K, +)$. Sous-anneau de $K$. Sous-groupe du groupe multiplicatif $K^*$.

Question 4 : La caractérisation la plus concise d’un sous-corps $L$ non vide d’un corps $K$ exige la stabilité pour la multiplication et deux autres conditions. Laquelle parmi les suivantes est l’une de ces conditions concises ?

Pour tout $a, b \in L$, $a+b \in L$ et $a \cdot b \in L$. Pour tout $a, b \in L$, $a-b \in L$ et pour tout $a \in L^*$, $a^{-1} \in L$. Pour tout $a \in L$, $a$ doit être algébrique sur $K$.

Question 5 : L’ensemble $\mathbb{Z}$ (nombres entiers) est-il un sous-corps du corps des rationnels $\mathbb{Q}$ ?

Oui, car $\mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q}$ et contient $0$ et $1$. Non, car il n’est pas stable par multiplication. Non, car la plupart des éléments non nuls de $\mathbb{Z}$ n’ont pas d’inverse dans $\mathbb{Z}$.

Question 6 : L’ensemble $L = \{a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Q} \}$ est un sous-corps de $\mathbb{R}$. Quelle est sa dimension en tant qu’espace vectoriel sur $\mathbb{Q}$ ?

$1$ $2$ Infinie, car $\mathbb{Q}$ est infini.

Question 7 : Lequel des ensembles suivants est un sous-corps du corps des nombres complexes $\mathbb{C}$ ?

$L_1 = \{a + b i \mid a, b \in \mathbb{Z} \}$ (Entiers de Gauss). $L_2 = \{a + 0 i \mid a \in \mathbb{R} \}$ (Nombres réels). $L_3 = \{a + b i \mid a, b \in \mathbb{R} \text{ et } a^2+b^2 < 1 \}$.

Question 8 : Un corps $K$ est dit corps premier si :

$K$ n’a pas de sous-corps propre (différent de lui-même). Sa caractéristique est un nombre premier $p$. Il est isomorphe à $\mathbb{Q}$ ou à $\mathbb{Z}_p$.

Question 9 : Soit $K$ un corps et $L$ un sous-corps de $K$. On peut dire que $K$ est un :

Espace vectoriel sur $L$. Sous-anneau de $L$. Idéal maximal de $L$.

Question 10 : La caractérisation en une étape pour un sous-ensemble $L$ (non vide) d’un corps $K$ pour être un sous-corps est : $L$ est stable par soustraction et par :

Division pour tous les éléments $a, b \in L$ tels que $b \ne 0$. Multiplication par des éléments de $K$. Addition et multiplication simultanément.

Quiz terminé !

Félicitations pour avoir testé votre compréhension des Sous-corps.

Points clés à retenir :

La condition la plus concise est la stabilité par soustraction et division.
Un sous-corps doit toujours contenir l’unité $1_K$.
Tout corps $K$ est un espace vectoriel sur n’importe quel sous-corps $L$.

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