Quizz : Degré d’une extension [K:k]

Question 1 : Que représente le degré $[L:K]$ de l’extension de corps $L/K$ ?

La dimension du $K$-espace vectoriel $L$. L’ordre du groupe multiplicatif $L^*/K^*$. La caractéristique du corps $L$.

Question 2 : L’extension $\mathbb{Q}(\pi) / \mathbb{Q}$ ($\pi$ est transcendant) a quel degré ?

$1$. $\infty$. $2$.

Question 3 : Quel est le degré de l’extension $\mathbb{Q}(\sqrt{5}) / \mathbb{Q}$ ?

$2$. $1$. $4$.

Question 4 : Soit $K \subseteq L \subseteq M$ une tour d’extensions finies. Quelle formule relie les degrés ?

$[M:K] = [M:L] + [L:K]$. $[M:K] = [M:L] \cdot [L:K]$. $[M:K] = \frac{[M:L]}{[L:K]}$.

Question 5 : Si $\alpha$ est algébrique sur $K$, que vaut $[K(\alpha):K]$ ?

Degré de l’extension au carré. Degré du polynôme minimal de $\alpha$ sur $K$. Nombre d’éléments de $K(\alpha)$.

Question 6 : Une extension $L/K$ est finie si et seulement si :

Elle est transcendante. Elle est engendrée par un nombre fini d’éléments algébriques. Elle est engendrée par un élément algébrique.

Question 7 : Soit $P(X) = X^3 – 2 \in \mathbb{Q}[X]$. Quel est le degré de l’extension $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) / \mathbb{Q}$ ?

$1$ $2$ $3$

Question 8 : Si $[L:K]=3$ et $[M:L]=2$, que vaut $[M:K]$ ?

$5$. $6$. $9$.

Question 9 : Quel est le degré de l’extension $\mathbb{Q}(\sqrt{2}, i) / \mathbb{Q}$ ?

$2$. $3$. $4$.

Question 10 : Quel est le degré de l’extension $K(X) / K$ (corps des fractions rationnelles) ?

$1$. Un entier $n > 1$. $\infty$.

Test : Degré d’une extension $[L:K]$