Test : Qu’est-ce qu’un Corps Algébriquement Clos ?

Ce quiz porte sur la notion de **Corps Algébriquement Clos (CAC)**, une propriété essentielle en algèbre et pour le Théorème Fondamental de l’Algèbre.

Rappel : Un corps $K$ est algébriquement clos si tout polynôme non constant à coefficients dans $K$ a au moins une racine dans $K$.

Question 1 : Un corps $K$ est dit algébriquement clos si :

Tout polynôme non constant $P(X) \in K[X]$ admet au moins une racine dans $K$. L’extension $K(\alpha)$ est toujours finie. Tout polynôme se décompose en produit de facteurs irréductibles de degré $2$.

Question 2 : Si $K$ est algébriquement clos, tout polynôme non constant $P(X) \in K[X]$ se décompose en :

Un produit de facteurs irréductibles de degré maximal. Un produit de facteurs de degré $1$. Un polynôme minimal.

Question 3 : Le corps $\mathbb{R}$ des nombres réels n’est pas algébriquement clos car :

Le polynôme $X^2 – 1$ a deux racines. Le polynôme $X^2 + 1$ n’a pas de racine dans $\mathbb{R}$. Il est de caractéristique $0$.

Question 4 : Quel est l’exemple le plus célèbre de corps algébriquement clos ?

Le corps $\mathbb{Q}$ des nombres rationnels. Le corps $\mathbb{R}$ des nombres réels. Le corps $\mathbb{C}$ des nombres complexes.

Question 5 : Si $K$ est algébriquement clos, quels sont les seuls polynômes irréductibles dans $K[X]$ ?

Les polynômes de degré $2$ ou moins. Les polynômes de degré $1$. Les polynômes non constants.

Question 6 : La clôture algébrique $\overline{K}$ d’un corps $K$ est :

Toute extension algébriquement close contenant $K$. La plus petite extension de $K$ qui est algébriquement close. L’extension de corps $K(X)$ (corps des fractions rationnelles).

Question 7 : Si $\overline{K}$ est la clôture algébrique de $K$, l’extension $\overline{K}/K$ est toujours :

Une extension transcendante. Une extension algébrique. Une extension finie (de degré $n < \infty$).

Question 8 : Le corps fini $\mathbb{F}_p$ ($p$ premier) est-il algébriquement clos ?

Oui, car il est de caractéristique $p$. Non, car il existe toujours un polynôme irréductible de degré $>1$ dans $\mathbb{F}_p[X]$. Oui, car $\mathbb{F}_p \cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ est un corps.

Question 9 : Quel est l’idéal maximal $\mathfrak{m}$ de $\mathbb{C}[X]$ ?

L’idéal engendré par un polynôme irréductible de degré $2$. Les idéaux de la forme $\langle X – a \rangle$, pour un certain $a \in \mathbb{C}$. L’idéal nul $\langle 0 \rangle$.

Question 10 : La clôture algébrique $\overline{K}$ d’un corps $K$ est unique :

Uniquement si $K = \mathbb{Q}$. À isomorphisme près. Si et seulement si $K$ est fini.

Quiz terminé !

Félicitations ! Vous avez révisé les propriétés des corps algébriquement clos et de la clôture algébrique.

Points clés à retenir :

Les seuls corps connus sont $\mathbb{C}$.
Un CAC n’admet que des polynômes irréductibles de degré $1$.
La clôture algébrique $\overline{K}$ est une extension algébrique de $K$.

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