Les Nombres Relatifs : Produit et Quotient – Cours 1ère Année Collège

Cours : Les Nombres Relatifs – Produit et Quotient
Les Nombres Relatifs : Produit et Quotient

Produit de nombres relatifs

Produit d’un nombre positif et d’un nombre négatif
Le produit d’un nombre positif par un nombre négatif est un nombre négatif. Sa distance à zéro est le produit des distances à zéro.
Exemple
$(-3) \times (+6) = -18$
$(+5,5) \times (-2) = -11$
Produit de deux nombres négatifs
Le produit de deux nombres négatifs est un nombre positif. Sa distance à zéro est le produit des distances à zéro.
Exemple
$(-5) \times (-3) = +15 = 15$
$(-2,3) \times (-7,2) = +16,56 = 16,56$

Produit de plusieurs nombres relatifs

Règle des signes pour un produit
Le signe d’un produit de plusieurs facteurs dépend du nombre de facteurs négatifs :
  • Si le nombre de facteurs négatifs est pair, le produit est positif.
  • Si le nombre de facteurs négatifs est impair, le produit est négatif.

Quotient de nombres relatifs

Inverse d’un nombre
L’inverse d’un nombre relatif non nul $a$ est le nombre, noté $\frac{1}{a}$ ou $a^{-1}$, tel que $a \times \frac{1}{a} = 1$.
Quotient de deux nombres relatifs
Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par son inverse. $$ \frac{a}{b} = a \times \frac{1}{b} $$ La règle des signes pour le quotient est la même que pour le produit.

Puissance d’un nombre relatif

Définition
Soit $a$ un nombre relatif et $n$ un entier supérieur à 1. La puissance $n$-ième de $a$ est le produit de $n$ facteurs égaux à $a$. $$ a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ facteurs}} $$ Par convention, $a^1 = a$ et $a^0 = 1$ (pour $a \neq 0$).
Signe d’une puissance
Soit $a$ un nombre relatif non nul et $n$ un entier.
  • Si $a$ est positif, alors $a^n$ est toujours positif.
  • Si $a$ est négatif, le signe de $a^n$ dépend de l’exposant $n$ :
    • Si $n$ est pair, $a^n$ est positif.
    • Si $n$ est impair, $a^n$ est négatif.
Propriétés des puissances
Soient $a$ et $b$ des nombres relatifs, et $n$ et $m$ des entiers.
  • $a^n \times a^m = a^{n+m}$
  • $(a^n)^m = a^{n \times m}$
  • $(a \times b)^n = a^n \times b^n$
  • $\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$ (pour $a \neq 0$)
  • $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ (pour $b \neq 0$)
Application
Écrire sous la forme d’une seule puissance :
  • $3^7 \times 3^2$
  • $2^4 \times 5^4$
  • $(11^5)^7$
  • $\frac{15^{13}}{15^2}$
  • $\frac{9^6}{2^6}$
Remarque

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