Test : Qu’est-ce qu’une base ? (Définition)

Ce quiz porte sur la définition cruciale d’une **Base** d’un espace vectoriel $E$. Une base est l’ensemble minimal de vecteurs qui permet de générer tout l’espace de manière unique.

Rappel : Une famille $B = \{\vec{e}_1, \dots, \vec{e}_n\}$ est une base de $E$ si elle est à la fois **génératrice** et **libre**.

Question 1 : Une famille $B$ de vecteurs d’un espace vectoriel $E$ est une base si elle possède quelle double propriété ?

Génératrice et liée. Libre et finie. Génératrice et libre.

Question 2 : La dimension d’un espace vectoriel $E$ est définie comme :

Le nombre maximal de vecteurs liés dans $E$. Le nombre de vecteurs dans n’importe quelle base de $E$. L’ordre du corps de base $K$.

Question 3 : La propriété qu’une base est libre garantit que la décomposition de tout vecteur $\vec{v} \in E$ dans cette base est :

Unique. Non unique. Toujours la combinaison linéaire triviale.

Question 4 : Si une famille $B$ est une base de $E$, est-elle le plus grand ensemble de vecteurs libres dans $E$ ?

Non, il existe toujours un ensemble libre plus grand. Oui, car ajouter un vecteur la rendrait liée. Seulement si $E$ est de dimension infinie.

Question 5 : Quel est le nombre minimal de vecteurs nécessaire pour former une base de l’espace des polynômes de degré $\le 2$ sur $\mathbb{R}$ ($\mathbb{R}_2[X]$) ?

$2$ $3$ $4$

Question 6 : Si une famille $B$ est une base, est-elle le plus petit ensemble de vecteurs générateurs de $E$ ?

Oui, car la liberté empêche les redondances. Non, il existe toujours un ensemble générateur plus petit. Oui, si et seulement si l’espace est de dimension paire.

Question 7 : Dans $\mathbb{R}^3$, la famille $B = \{\vec{v}_1=(1, 0, 0), \vec{v}_2=(0, 1, 0), \vec{v}_3=(1, 1, 0)\}$ est-elle une base ?

Oui, car elle contient 3 vecteurs. Non, car elle est liée. Non, car elle n’est pas génératrice de tout $\mathbb{R}^3$.

Question 8 : Le théorème de la base incomplète stipule que toute famille libre peut être complétée en :

Une famille génératrice minimale. Une autre famille libre. Une base de l’espace vectoriel.

Question 9 : Dans un espace vectoriel de dimension finie $n$, si une famille $B$ est génératrice et a $n$ vecteurs, est-elle une base ?

Oui, c’est une propriété fondamentale des espaces de dimension finie. Non, il faut toujours vérifier l’indépendance linéaire. Seulement si le corps de base est $\mathbb{R}$.

Question 10 : Si une matrice carrée $A$ a un déterminant non nul, alors ses vecteurs colonnes forment :

Une famille liée. Un ensemble générateur non libre. Une base.

Quiz terminé !

Félicitations ! Vous avez révisé la définition et les propriétés fondamentales d’une base.

Points clés à retenir :

Une base est la combinaison la plus efficace de vecteurs (libre et génératrice).
La taille de toute base est égale à la dimension de l’espace.
Les coordonnées d’un vecteur dans une base sont uniques.

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