Avant d’aborder les nombres rationnels, rappelons l’ensemble des nombres entiers naturels $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\}$ et l’ensemble des nombres entiers relatifs $\mathbb{Z} = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$. Nous avons également utilisé l’ensemble des nombres décimaux $\mathbb{D}$. L’ensemble des nombres rationnels $\mathbb{Q}$ est une extension nécessaire pour résoudre certains types d’équations et représenter des quantités par des fractions.
I. Définition et écriture d’un nombre rationnel
Problème : Un fermier souhaite partager équitablement $5$ sacs de grain entre $3$ silos. Combien de sacs chaque silo recevra-t-il ?
- Quel calcul simple permet d’exprimer la part de chaque silo ?
- Si on tente de diviser $5$ par $3$ en utilisant la division décimale classique, qu’obtient-on ? $5 \div 3 = ?$
- Comment exprime-t-on le résultat exact sous forme d’une seule écriture ?
Un nombre rationnel est le quotient d’un nombre entier relatif $a$ par un nombre entier relatif $b$ non nul ($b \neq 0$).
Il est noté sous la forme :
$$ \text{Nombre Rationnel} = \frac{a}{b} $$Où :
- $a$ est le numérateur (un entier relatif, $a \in \mathbb{Z}$).
- $b$ est le dénominateur (un entier relatif non nul, $b \in \mathbb{Z}^*$).
L’ensemble des nombres rationnels est noté $\mathbb{Q}$ (comme « Quotient »).
Tout nombre rationnel n’est pas nécessairement un nombre décimal.
- $\frac{1}{2} = 0,5$ (décimal) : $2$ est un nombre rationnel et décimal.
- $\frac{1}{3} = 0,3333\dots$ (périodique) : $3$ est un nombre rationnel, mais n’est pas un nombre décimal, car son écriture n’est pas finie.
On a la chaîne d’inclusion : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q}$.
Signe d’un nombre rationnel
Le signe d’un nombre rationnel est déterminé par le signe de son numérateur et de son dénominateur :
- Si le numérateur et le dénominateur ont le même signe (tous deux positifs ou tous deux négatifs), alors le nombre rationnel est positif.
- Si le numérateur et le dénominateur ont des signes différents (l’un positif et l’autre négatif), alors le nombre rationnel est négatif.
Déterminer le signe des nombres rationnels suivants et simplifier leur écriture en déplaçant le signe si nécessaire :
- $R_1 = \frac{7}{-4}$
- $R_2 = \frac{-15}{-5}$
- $R_3 = -\frac{-2}{9}$
- $R_1 = \frac{7}{-4}$. Le numérateur ($7$) est positif et le dénominateur ($-4$) est négatif. Les signes sont différents, donc $R_1$ est négatif. On écrit $R_1 = – \frac{7}{4}$.
- $R_2 = \frac{-15}{-5}$. Les signes sont identiques (tous deux négatifs), donc $R_2$ est positif. On écrit $R_2 = \frac{15}{5}$. Comme $15 \div 5 = 3$, $R_2 = 3$.
- $R_3 = -\frac{-2}{9}$. Le numérateur ($-2$) et le dénominateur ($9$) ont des signes différents, donc $\frac{-2}{9}$ est négatif. La présence du signe moins devant la fraction inverse le signe final. Donc $R_3$ est positif. On écrit $R_3 = \frac{2}{9}$.
II. Égalité et Simplification de nombres rationnels
Égalité de deux nombres rationnels
Soient $\frac{a}{b}$ et $\frac{c}{d}$ deux nombres rationnels. Ils sont égaux si, et seulement si, leurs produits en croix sont égaux :
$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \quad \text{équivaut à} \quad a \times d = b \times c $$Cas particulier (Propriété fondamentale) : On ne change pas un nombre rationnel en multipliant ou en divisant son numérateur et son dénominateur par le même nombre relatif non nul ($k \neq 0$) :
$$ \frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k} \quad \text{et} \quad \frac{a}{b} = \frac{a \div k}{b \div k} $$1. Vérifier si les couples de nombres rationnels sont égaux :
- $A = \frac{3}{7}$ et $B = \frac{9}{21}$
- $C = \frac{-5}{8}$ et $D = \frac{10}{-16}$
2. Trouver le nombre $x$ tel que $\frac{x}{6} = \frac{15}{18}$.
1. Vérification par produits en croix :
- Pour $A$ et $B$ : $3 \times 21 = 63$ et $7 \times 9 = 63$. Puisque $63 = 63$, alors $\frac{3}{7} = \frac{9}{21}$.
- Pour $C$ et $D$ : $(-5) \times (-16) = 80$ et $8 \times 10 = 80$. Puisque $80 = 80$, alors $\frac{-5}{8} = \frac{10}{-16}$.
2. Recherche de $x$ :
L’égalité $\frac{x}{6} = \frac{15}{18}$ implique $x \times 18 = 6 \times 15$.
$$ x \times 18 = 90 $$ $$ x = \frac{90}{18} $$ $$ x = 5 $$Ou, par simplification : $18 = 6 \times 3$. Pour que les fractions soient égales, on doit diviser $15$ par $3$. $15 \div 3 = 5$. Donc $x=5$.
Simplification d’un nombre rationnel
Simplifier un nombre rationnel, c’est trouver une écriture fractionnaire égale avec un numérateur et un dénominateur plus petits.
Un nombre rationnel $\frac{a}{b}$ est dit irréductible (ou une fraction irréductible) lorsque $a$ et $b$ n’ont aucun diviseur commun autre que $1$ et $-1$. Pour le rendre irréductible, on divise le numérateur et le dénominateur par leur plus grand diviseur commun (PGCD).
Simplifier au maximum les nombres rationnels suivants :
- $E = \frac{36}{48}$
- $F = \frac{-250}{100}$
- $G = \frac{42}{-70}$
- $E = \frac{36}{48}$. On remarque que $36$ et $48$ sont tous deux divisibles par $12$ (leur PGCD). $$ E = \frac{36 \div 12}{48 \div 12} = \frac{3}{4} $$
- $F = \frac{-250}{100}$. On remarque que $250$ et $100$ sont divisibles par $100$ (on divise par $100$ après avoir simplifié par $10$ si nécessaire). On peut simplifier par $10$ puis par $5$. $$ F = \frac{-250 \div 10}{100 \div 10} = \frac{-25}{10} = \frac{-25 \div 5}{10 \div 5} = \frac{-5}{2} $$
- $G = \frac{42}{-70}$. On gère le signe : $G = -\frac{42}{70}$. On remarque que $42$ et $70$ sont divisibles par $14$ (car $42 = 3 \times 14$ et $70 = 5 \times 14$). $$ G = – \frac{42 \div 14}{70 \div 14} = – \frac{3}{5} $$
III. Comparaison de nombres rationnels
Considérons l’axe des nombres ci-dessous, où l’unité est le segment entre $0$ et $1$. Représenter les points $A = \frac{1}{2}$, $B = \frac{-3}{4}$ et $C = \frac{7}{4}$.
En observant les positions des points $A$, $B$ et $C$, quel est l’ordre croissant de ces nombres ? (Plus un nombre est à droite, plus il est grand).
Le point $B$ est le plus à gauche, suivi de $A$, puis de $C$. L’ordre croissant est donc : $B < A < C$, ce qui donne :
$$ \frac{-3}{4} < \frac{1}{2} < \frac{7}{4} $$Règles de comparaison
- Tout nombre rationnel négatif est inférieur à tout nombre rationnel positif.
- Le plus grand de deux nombres rationnels négatifs est celui qui a la plus petite distance à zéro.
Exemple : $\frac{-2}{3} < \frac{5}{4}$ car $\frac{-2}{3}$ est négatif et $\frac{5}{4}$ est positif. De plus, $\frac{-1}{2} > \frac{-3}{4}$ car $|-1/2| = 1/2 = 0,5$ et $|-3/4| = 3/4 = 0,75$. $0,5 < 0,75$, donc $\frac{-1}{2}$ est plus proche de zéro et donc plus grand.
Si deux nombres rationnels ont le même dénominateur positif, le plus grand est celui qui a le plus grand numérateur.
Si $b > 0$, alors $\frac{a}{b} < \frac{c}{b}$ si $a < c$.
Exemple : $\frac{11}{5} > \frac{9}{5}$ car $11 > 9$.
Pour comparer deux nombres rationnels de dénominateurs différents, on les ramène au même dénominateur positif (le plus petit multiple commun des dénominateurs).
Comparer les nombres rationnels suivants :
- $\frac{2}{3}$ et $\frac{5}{7}$
- $\frac{-4}{9}$ et $\frac{-2}{3}$
- $\frac{7}{12}$ et $\frac{5}{8}$
- $\frac{2}{3}$ et $\frac{5}{7}$. Le dénominateur commun est $3 \times 7 = 21$. $$ \frac{2}{3} = \frac{2 \times 7}{3 \times 7} = \frac{14}{21} \quad \text{et} \quad \frac{5}{7} = \frac{5 \times 3}{7 \times 3} = \frac{15}{21} $$ Puisque $14 < 15$, alors $\frac{14}{21} < \frac{15}{21}$, donc $\frac{2}{3} < \frac{5}{7}$.
- $\frac{-4}{9}$ et $\frac{-2}{3}$. Le dénominateur commun est $9$. $$ \frac{-2}{3} = \frac{-2 \times 3}{3 \times 3} = \frac{-6}{9} $$ Puisque $-4 > -6$ ($-4$ est plus proche de zéro), alors $\frac{-4}{9} > \frac{-6}{9}$, donc $\frac{-4}{9} > \frac{-2}{3}$.
- $\frac{7}{12}$ et $\frac{5}{8}$. Le plus petit multiple commun de $12$ et $8$ est $24$. $$ \frac{7}{12} = \frac{7 \times 2}{12 \times 2} = \frac{14}{24} \quad \text{et} \quad \frac{5}{8} = \frac{5 \times 3}{8 \times 3} = \frac{15}{24} $$ Puisque $14 < 15$, alors $\frac{14}{24} < \frac{15}{24}$, donc $\frac{7}{12} < \frac{5}{8}$.
IV. Opérations sur les nombres rationnels : Addition et Soustraction
Règle de l’Addition et Soustraction (même dénominateur)
Pour additionner ou soustraire deux nombres rationnels ayant le même dénominateur, on effectue l’addition ou la soustraction des numérateurs et on garde le dénominateur commun.
$$ \frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a+c}{b} \quad \text{et} \quad \frac{a}{b} – \frac{c}{b} = \frac{a-c}{b} $$Règle de l’Addition et Soustraction (dénominateurs différents)
Pour additionner ou soustraire deux nombres rationnels de dénominateurs différents, on doit d’abord les réduire au même dénominateur.
Calculer et simplifier le résultat si possible :
- $S_1 = \frac{5}{11} + \frac{3}{11} – \frac{1}{11}$
- $S_2 = \frac{2}{3} + \frac{1}{6}$
- $S_3 = \frac{5}{4} – \frac{7}{10}$
- $S_4 = \frac{-2}{5} + 3$
- $S_1 = \frac{5+3-1}{11} = \frac{7}{11}$.
- $S_2 = \frac{2}{3} + \frac{1}{6}$. Dénominateur commun $6$. $$ S_2 = \frac{2 \times 2}{3 \times 2} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4+1}{6} = \frac{5}{6} $$
- $S_3 = \frac{5}{4} – \frac{7}{10}$. Dénominateur commun $20$. $$ S_3 = \frac{5 \times 5}{4 \times 5} – \frac{7 \times 2}{10 \times 2} = \frac{25}{20} – \frac{14}{20} = \frac{25-14}{20} = \frac{11}{20} $$
- $S_4 = \frac{-2}{5} + 3$. On écrit $3 = \frac{3}{1} = \frac{3 \times 5}{1 \times 5} = \frac{15}{5}$. $$ S_4 = \frac{-2}{5} + \frac{15}{5} = \frac{-2 + 15}{5} = \frac{13}{5} $$
V. Opérations sur les nombres rationnels : Multiplication et Division
Multiplication de nombres rationnels
Le produit de deux nombres rationnels est un nombre rationnel dont le numérateur est le produit des numérateurs et le dénominateur est le produit des dénominateurs.
$$ \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} $$Il est vivement conseillé de simplifier avant de multiplier, en cherchant des facteurs communs entre les numérateurs et les dénominateurs.
Calculer et simplifier le résultat si possible :
- $P_1 = \frac{3}{4} \times \frac{5}{7}$
- $P_2 = \frac{-9}{10} \times \frac{5}{12}$
- $P_3 = 4 \times \frac{3}{-16}$
- $P_1 = \frac{3 \times 5}{4 \times 7} = \frac{15}{28}$. (Irréductible)
- $P_2 = \frac{-9}{10} \times \frac{5}{12}$. Simplification avant de multiplier : $$ P_2 = – \frac{9 \times 5}{10 \times 12} = – \frac{(3 \times 3) \times 5}{(2 \times 5) \times (3 \times 4)} $$ On simplifie par $3$ et par $5$ : $$ P_2 = – \frac{3}{2 \times 4} = – \frac{3}{8} $$
- $P_3 = 4 \times \frac{3}{-16}$. On écrit $4 = \frac{4}{1}$. $$ P_3 = – \left( \frac{4}{1} \times \frac{3}{16} \right) = – \frac{4 \times 3}{1 \times 16} $$ On remarque que $16 = 4 \times 4$. On simplifie par $4$ : $$ P_3 = – \frac{3}{4} $$
Inverse d’un nombre rationnel
L’inverse d’un nombre rationnel $\frac{a}{b}$ (avec $a \neq 0$ et $b \neq 0$) est le nombre rationnel obtenu en échangeant le numérateur et le dénominateur.
L’inverse de $\frac{a}{b}$ est $\frac{b}{a}$.
Le produit d’un nombre rationnel non nul par son inverse est toujours égal à $1$.
$$ \frac{a}{b} \times \frac{b}{a} = \frac{a \times b}{b \times a} = 1 $$Attention : L’inverse d’un nombre $x$ n’est pas son opposé (qui est $-x$). Le nombre $0$ n’a pas d’inverse.
Division de nombres rationnels
Diviser par un nombre rationnel non nul revient à multiplier par son inverse.
$$ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c} $$Où $\frac{c}{d}$ est le diviseur non nul.
Calculer et simplifier le résultat si possible :
- $Q_1 = \frac{5}{3} \div \frac{7}{4}$
- $Q_2 = \frac{-15}{8} \div 5$
- $Q_3 = \frac{2}{3} \div \left( \frac{-4}{9} \right)$
- $Q_1 = \frac{5}{3} \div \frac{7}{4}$. On multiplie par l’inverse de $\frac{7}{4}$, qui est $\frac{4}{7}$. $$ Q_1 = \frac{5}{3} \times \frac{4}{7} = \frac{5 \times 4}{3 \times 7} = \frac{20}{21} $$
- $Q_2 = \frac{-15}{8} \div 5$. L’inverse de $5 = \frac{5}{1}$ est $\frac{1}{5}$. $$ Q_2 = \frac{-15}{8} \times \frac{1}{5} = – \frac{15 \times 1}{8 \times 5} $$ On simplifie par $5$ ($15 = 3 \times 5$) : $$ Q_2 = – \frac{3}{8} $$
- $Q_3 = \frac{2}{3} \div \left( \frac{-4}{9} \right)$. L’inverse de $\frac{-4}{9}$ est $\frac{9}{-4}$. $$ Q_3 = \frac{2}{3} \times \frac{9}{-4} = – \left( \frac{2 \times 9}{3 \times 4} \right) $$ On remarque que $9 = 3 \times 3$ et $4 = 2 \times 2$. On simplifie par $2 \times 3 = 6$. $$ Q_3 = – \frac{2 \times 3 \times 3}{3 \times 2 \times 2} = – \frac{3}{2} $$
VI. Exercices de synthèse et d’approfondissement
Calculer les expressions suivantes en respectant les priorités des opérations et simplifier le résultat :
- $Z_1 = \frac{1}{2} + \frac{3}{4} \times \frac{8}{9}$
- $Z_2 = \left( \frac{1}{5} – \frac{1}{3} \right) \div \left( 1 + \frac{2}{5} \right)$
- $Z_3 = \frac{ \frac{3}{7} – 2 }{ \frac{1}{7} + \frac{5}{14} }$
1. Calcul de $Z_1$ : (Priorité à la multiplication)
$$ Z_1 = \frac{1}{2} + \left( \frac{3}{4} \times \frac{8}{9} \right) $$ $$ Z_1 = \frac{1}{2} + \left( \frac{3}{4} \times \frac{4 \times 2}{3 \times 3} \right) $$ $$ Z_1 = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} \quad (\text{Après simplification par } 3 \times 4 = 12) $$ Réduction au même dénominateur $6$ : $$ Z_1 = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} + \frac{2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{3}{6} + \frac{4}{6} = \frac{7}{6} $$2. Calcul de $Z_2$ : (Priorité aux parenthèses)
$$ Z_2 = \left( \frac{1}{5} – \frac{1}{3} \right) \div \left( \frac{5}{5} + \frac{2}{5} \right) $$ Calcul des parenthèses : $$ \text{Parenthèse 1} : \frac{3}{15} – \frac{5}{15} = \frac{3-5}{15} = \frac{-2}{15} $$ $$ \text{Parenthèse 2} : \frac{5+2}{5} = \frac{7}{5} $$ La division devient : $$ Z_2 = \frac{-2}{15} \div \frac{7}{5} = \frac{-2}{15} \times \frac{5}{7} $$ Simplification ($15 = 3 \times 5$) : $$ Z_2 = – \frac{2 \times 5}{3 \times 5 \times 7} = – \frac{2}{3 \times 7} = – \frac{2}{21} $$3. Calcul de $Z_3$ : (Priorité au numérateur et au dénominateur)
Calcul du numérateur $N = \frac{3}{7} – 2$: $$ N = \frac{3}{7} – \frac{2 \times 7}{7} = \frac{3}{7} – \frac{14}{7} = \frac{3-14}{7} = \frac{-11}{7} $$ Calcul du dénominateur $D = \frac{1}{7} + \frac{5}{14}$: $$ D = \frac{1 \times 2}{7 \times 2} + \frac{5}{14} = \frac{2}{14} + \frac{5}{14} = \frac{2+5}{14} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} $$ La fraction devient la division : $$ Z_3 = \frac{N}{D} = \frac{-11}{7} \div \frac{1}{2} $$ $$ Z_3 = \frac{-11}{7} \times \frac{2}{1} = – \frac{11 \times 2}{7 \times 1} = – \frac{22}{7} $$La maîtrise des nombres rationnels est essentielle. Elle repose sur la compréhension de l’équivalence des fractions et l’application rigoureuse des règles opératoires (surtout la réduction au même dénominateur pour l’addition/soustraction et la multiplication par l’inverse pour la division).