La multiplication est une addition répétée. Par exemple, $3 \times 4 = 3 + 3 + 3 + 3$. Les puissances sont une multiplication répétée.
I. Définition et Puissance à Exposant Entier Positif
Soit $a$ un nombre rationnel non nul et $n$ un entier naturel ($n \ge 2$). La puissance $n^{\text{ième}}$ de $a$, notée $a^n$, est le produit du facteur $a$ par lui-même $n$ fois.
$$ a^n = \underbrace{a \times a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ facteurs}} $$Dans l’écriture $a^n$ :
- $a$ est la base.
- $n$ est l’exposant.
1. Écrire le produit $P = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3}$ sous forme de puissance.
2. Calculer $I = \left( \frac{-1}{2} \right)^3$.
Cas Particuliers (Exposants 0 et 1)
Pour tout nombre rationnel $a$ non nul :
- Exposant 1 : $a^1 = a$
- Exposant 0 : $a^0 = 1$
Exemples : $\left( \frac{13}{5} \right)^1 = \frac{13}{5}$ et $\left( \frac{-7}{11} \right)^0 = 1$.
Note : $0^0$ n’est pas défini. $0^n = 0$ pour $n > 0$.
II. Puissance à Exposant Entier Négatif
Soit $a$ un nombre rationnel non nul et $n$ un entier naturel. La puissance $a^{-n}$ est définie comme l’inverse de $a^n$.
$$ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $$Si la base est elle-même une fraction, on inverse la fraction et l’exposant devient positif :
$$ \left( \frac{a}{b} \right)^{-n} = \left( \frac{b}{a} \right)^{n} $$Calculer :
- $A = 2^{-3}$
- $B = \left( \frac{3}{5} \right)^{-2}$
- $C = \left( \frac{-1}{4} \right)^{-1}$
- $$ A = 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{2 \times 2 \times 2} = \frac{1}{8} $$
- $$ B = \left( \frac{3}{5} \right)^{-2} = \left( \frac{5}{3} \right)^2 = \frac{5^2}{3^2} = \frac{25}{9} $$
- $$ C = \left( \frac{-1}{4} \right)^{-1} = \frac{4}{-1} = -4 $$
III. Propriétés Opératoires des Puissances
Soient $a$ et $b$ des nombres rationnels non nuls, et $n$ et $m$ des entiers relatifs.
1. Produit de puissances de même base
Pour multiplier deux puissances de même base, on garde la base et on additionne les exposants :
$$ a^n \times a^m = a^{n+m} $$Exemple : $\left(\frac{1}{2}\right)^3 \times \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \left(\frac{1}{2}\right)^{3+4} = \left(\frac{1}{2}\right)^7$
2. Quotient de puissances de même base
Pour diviser deux puissances de même base, on garde la base et on soustraie les exposants :
$$ \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m} $$Exemple : $\frac{4^5}{4^2} = 4^{5-2} = 4^3$
3. Puissance d’une puissance
Pour calculer la puissance d’une puissance, on garde la base et on multiplie les exposants :
$$ (a^n)^m = a^{n \times m} $$Exemple : $\left[ \left(\frac{2}{3}\right)^3 \right]^{-2} = \left(\frac{2}{3}\right)^{3 \times (-2)} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-6}$
4. Puissance d’un produit (ou d’un quotient)
La puissance se distribue sur le produit et le quotient :
$$ (a \times b)^n = a^n \times b^n \quad \text{et} \quad \left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n} $$Exemple : $(2 \times 5)^{-3} = 2^{-3} \times 5^{-3}$ et $\left( \frac{-4}{5} \right)^2 = \frac{(-4)^2}{5^2} = \frac{16}{25}$
IV. Exercices de Calcul et de Synthèse
Écrire les expressions suivantes sous la forme d’une seule puissance $a^n$ (avec $a$ un nombre rationnel et $n$ un entier relatif), puis calculer leur valeur numérique si $n$ est petit :
- $D = \frac{3^4 \times 3^{-2}}{3^7}$
- $E = \left( \frac{1}{5} \right)^{-3} \times 5^2$
- $F = \left[ \left( \frac{-2}{3} \right)^2 \right]^3 \times \frac{4}{9}$
- $G = \frac{\left( \frac{1}{4} \right)^3}{\left( \frac{1}{4} \right)^{-1}}$
1. Calcul de $D$ : (Même base : 3)
$$ D = \frac{3^{4+(-2)}}{3^7} = \frac{3^2}{3^7} $$ $$ D = 3^{2-7} = 3^{-5} $$ $$ \text{Valeur numérique} : D = \frac{1}{3^5} = \frac{1}{243} $$2. Calcul de $E$ : (Bases inverses)
On sait que $\left( \frac{1}{5} \right)^{-3} = 5^3$. $$ E = 5^3 \times 5^2 = 5^{3+2} = 5^5 $$ $$ \text{Valeur numérique} : E = 3125 $$3. Calcul de $F$ : (Puissance d’une puissance et simplification)
$$ F = \left( \frac{-2}{3} \right)^{2 \times 3} \times \frac{4}{9} = \left( \frac{-2}{3} \right)^6 \times \frac{4}{9} $$ Puisque l’exposant est pair, le signe est positif : $\left( \frac{-2}{3} \right)^6 = \left( \frac{2}{3} \right)^6$. $$ F = \left( \frac{2}{3} \right)^6 \times \left( \frac{2}{3} \right)^2 \quad \text{car} \quad \frac{4}{9} = \frac{2^2}{3^2} = \left( \frac{2}{3} \right)^2 $$ $$ F = \left( \frac{2}{3} \right)^{6+2} = \left( \frac{2}{3} \right)^8 $$4. Calcul de $G$ : (Même base : $\frac{1}{4}$)
$$ G = \left( \frac{1}{4} \right)^{3 – (-1)} = \left( \frac{1}{4} \right)^{3+1} = \left( \frac{1}{4} \right)^4 $$ $$ \text{Valeur numérique} : G = \frac{1^4}{4^4} = \frac{1}{256} $$Il est crucial de bien distinguer :
- $-2^4 = -(2 \times 2 \times 2 \times 2) = -16$ (Seul le $2$ est élevé à la puissance 4).
- $(-2)^4 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = +16$ (La base est $-2$).
- $(-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = -8$ (Base négative et exposant impair donnent un résultat négatif).