La réussite dans les opérations sur les nombres rationnels repose sur deux étapes initiales cruciales :
- Gérer le signe : Assurez-vous que le signe est bien placé devant la fraction (dénominateur toujours positif, ex: $\frac{a}{-b} = -\frac{a}{b}$).
- Simplifier avant : Toujours simplifier les fractions au maximum avant de commencer les opérations, surtout la multiplication.
I. Addition et Soustraction ($\pm$)
I.1 Les Dénominateurs Communs (PPCM)
Procédure de Base : Pour additionner ou soustraire $\frac{a}{b}$ et $\frac{c}{d}$, on doit absolument les réduire au même dénominateur, idéalement le Plus Petit Commun Multiple (PPCM) de $b$ et $d$.
Une fois le dénominateur commun $k$ trouvé :
$$ \frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{a’}{k} \pm \frac{c’}{k} = \frac{a’ \pm c’}{k} $$Calculer et donner le résultat irréductible :
- $S_1 = \frac{11}{18} – \frac{5}{6}$
- $S_2 = \frac{-1}{4} + \frac{2}{3} + \left( -\frac{7}{12} \right)$
1. Calcul de $S_1$ : PPCM de $18$ et $6$ est $18$.
$$ S_1 = \frac{11}{18} – \frac{5 \times 3}{6 \times 3} = \frac{11}{18} – \frac{15}{18} = \frac{11 – 15}{18} = \frac{-4}{18} $$ Simplification par $2$ : $$ S_1 = – \frac{4 \div 2}{18 \div 2} = – \frac{2}{9} $$2. Calcul de $S_2$ : PPCM de $4$, $3$ et $12$ est $12$.
$$ S_2 = \frac{-1 \times 3}{4 \times 3} + \frac{2 \times 4}{3 \times 4} – \frac{7}{12} $$ $$ S_2 = \frac{-3}{12} + \frac{8}{12} – \frac{7}{12} = \frac{-3 + 8 – 7}{12} $$ $$ S_2 = \frac{5 – 7}{12} = \frac{-2}{12} $$ Simplification par $2$ : $$ S_2 = – \frac{1}{6} $$II. Multiplication (Produit) ($\times$)
II.1 Règle et Simplification
Le produit de $\frac{a}{b}$ par $\frac{c}{d}$ est donné par :
$$ \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} $$Règle d’or : Simplifier tout numérateur avec tout dénominateur (par leurs facteurs communs) avant d’effectuer la multiplication finale.
Calculer et simplifier :
- $P_1 = \frac{-5}{8} \times \frac{4}{-3}$
- $P_2 = 12 \times \frac{7}{15}$
1. Calcul de $P_1$ : Deux signes moins donnent un résultat positif.
$$ P_1 = \frac{5}{8} \times \frac{4}{3} = \frac{5 \times 4}{8 \times 3} $$ Simplification de $4$ et $8$ ($8 = 2 \times 4$) : $$ P_1 = \frac{5}{2 \times 3} = \frac{5}{6} $$2. Calcul de $P_2$ : On écrit $12 = \frac{12}{1}$.
$$ P_2 = \frac{12}{1} \times \frac{7}{15} = \frac{12 \times 7}{15} $$ Simplification de $12$ et $15$ par $3$ ($12 = 4 \times 3$ et $15 = 5 \times 3$) : $$ P_2 = \frac{4 \times 7}{5} = \frac{28}{5} $$III. Division (Quotient) ($\div$)
III.1 L’Inverse et la Règle du Quotient
Définition de l’Inverse : L’inverse de $\frac{c}{d}$ est $\frac{d}{c}$.
Règle du Quotient : Diviser par un nombre rationnel non nul revient à multiplier par son inverse.
$$ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} $$Calculer et simplifier :
- $Q_1 = \frac{7}{9} \div \left( -\frac{14}{3} \right)$
- $Q_2 = \frac{-1}{4} \div (-5)$
1. Calcul de $Q_1$ : Inverse de $-\frac{14}{3}$ est $-\frac{3}{14}$.
$$ Q_1 = \frac{7}{9} \times \left( -\frac{3}{14} \right) = – \frac{7 \times 3}{9 \times 14} $$ Simplification : $7$ et $14$ par $7$ (reste $1$ et $2$). $3$ et $9$ par $3$ (reste $1$ et $3$). $$ Q_1 = – \frac{1 \times 1}{3 \times 2} = – \frac{1}{6} $$2. Calcul de $Q_2$ : Deux signes moins donnent un résultat positif. Inverse de $-5$ est $-\frac{1}{5}$.
$$ Q_2 = \left( -\frac{1}{4} \right) \times \left( -\frac{1}{5} \right) = \frac{1 \times 1}{4 \times 5} = \frac{1}{20} $$IV. Ordre des Opérations (Priorités)
Lorsqu’une expression contient un mélange des quatre opérations, l’ordre est strict :
- Parenthèses (ou numérateur/dénominateur d’une grande fraction).
- Multiplication et Division (de gauche à droite).
- Addition et Soustraction (de gauche à droite, après réduction au PPCM).
Calculer l’expression $E$ et donner le résultat sous forme irréductible :
$$ E = \left( \frac{1}{2} – \frac{3}{4} \right) \times \frac{8}{9} + \frac{5}{6} $$Étape 1 : Calculer la parenthèse (Addition/Soustraction, PPCM=4)
$$ \left( \frac{1}{2} – \frac{3}{4} \right) = \left( \frac{1 \times 2}{2 \times 2} – \frac{3}{4} \right) = \frac{2}{4} – \frac{3}{4} = \frac{-1}{4} $$ L’expression devient : $$ E = \frac{-1}{4} \times \frac{8}{9} + \frac{5}{6} $$Étape 2 : Calculer la multiplication (Produit, Simplification)
$$ \frac{-1}{4} \times \frac{8}{9} = – \frac{1 \times 8}{4 \times 9} $$ Simplification de $8$ par $4$ ($8 = 2 \times 4$) : $$ – \frac{2}{9} $$ L’expression devient : $$ E = – \frac{2}{9} + \frac{5}{6} $$Étape 3 : Calculer l’addition (PPCM de $9$ et $6$ est $18$)
$$ E = \frac{-2 \times 2}{9 \times 2} + \frac{5 \times 3}{6 \times 3} = \frac{-4}{18} + \frac{15}{18} $$ $$ E = \frac{-4 + 15}{18} = \frac{11}{18} $$Résultat final : $E = \frac{11}{18}$.