Ce chapitre est fondamental en géométrie. Il établit des relations de parallélisme et de proportionnalité entre les côtés d’un triangle lorsque l’on introduit des points spécifiques (milieux) ou des droites parallèles. Nous allons étudier deux concepts clés : la **Droite des Milieux** et les prémices du **Théorème de Thalès** (souvent appelé Théorème de la Sécante-Parallèle dans ce niveau).
I. La Droite des Milieux dans un Triangle
I.1 Théorème de la Droite des Milieux (Propriété directe)
Dans un triangle, si une droite passe par les **milieux de deux côtés**, alors cette droite est **parallèle** au troisième côté, et la longueur du segment joignant ces milieux est égale à la **moitié** de la longueur du troisième côté.
Hypothèses :
Soit $\triangle ABC$. Si $M$ est le milieu de $[AB]$ et $N$ est le milieu de $[AC]$.
Conclusions :
$$ (MN) \parallel (BC) $$ $$ MN = \frac{1}{2} BC $$I.2 Réciproque du Théorème de la Droite des Milieux
Dans un triangle, si une droite passe par le **milieu d’un côté** et est **parallèle au deuxième côté**, alors elle coupe le troisième côté en son **milieu**.
Hypothèses :
Soit $\triangle ABC$. Si $M$ est le milieu de $[AB]$ et si $(MN) \parallel (BC)$ (avec $N$ sur $[AC]$).
Conclusion :
$N$ est le milieu de $[AC]$.
Soit un triangle $DEF$. On donne $DE = 10 \text{ cm}$. $I$ est le milieu de $[DE]$ et $J$ est le milieu de $[DF]$.
- Démontrer que $(IJ)$ est parallèle à $(EF)$.
- Calculer la longueur du segment $[IJ]$.
- Parallélisme :
- Dans le triangle $DEF$, on a :
- $I$ est le milieu de $[DE]$ (donné).
- $J$ est le milieu de $[DF]$ (donné).
- D’après la **Propriété 1 de la Droite des Milieux**, la droite joignant les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté. Donc, $(IJ) \parallel (EF)$.
- Longueur :
- D’après la même propriété, la longueur $IJ$ est la moitié de la longueur $EF$.
- $IJ = \frac{1}{2} EF$.
- $IJ = \frac{1}{2} \times 10 \text{ cm} = 5 \text{ cm}$.
II. Proportionalité dans les Triangles (Théorème de Thalès)
II.1 Le Théorème de Thalès (Configuration standard)
Soient deux droites sécantes en un point $A$. Si deux droites parallèles coupent ces deux droites sécantes, alors les segments découpés sur les droites sécantes sont **proportionnels**, et il existe également une relation de proportionnalité avec les segments sur les droites parallèles.
Hypothèses :
Soit $\triangle ABC$. $M$ est un point de la droite $(AB)$ et $N$ est un point de la droite $(AC)$.
Si la droite $(MN)$ est parallèle à la droite $(BC)$, alors on a l’égalité des rapports :
$$ \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC} $$Cette configuration est souvent appelée la « petite » configuration de Thalès ou la configuration des « triangles emboîtés ». Le triangle $\triangle AMN$ est une réduction (ou agrandissement) du triangle $\triangle ABC$.
Soit un triangle $RST$. $U$ est sur $[RS]$ et $V$ est sur $[RT]$. Les droites $(UV)$ et $(ST)$ sont parallèles. On donne :
- $RS = 9 \text{ cm}$
- $RU = 3 \text{ cm}$
- $RT = 12 \text{ cm}$
- $ST = 15 \text{ cm}$
Calculer les longueurs $RV$ et $UV$.
On est dans la configuration de Thalès. Les droites $(SU)$ et $(TV)$ sont sécantes en $R$. De plus, $(UV) \parallel (ST)$.
D’après le **Théorème de Thalès**, on a l’égalité des rapports :
$$ \frac{RU}{RS} = \frac{RV}{RT} = \frac{UV}{ST} $$1. Calcul de $RV$ :
On utilise les deux premiers rapports : $\frac{RU}{RS} = \frac{RV}{RT}$. $$ \frac{3}{9} = \frac{RV}{12} $$ $$ 3 \times 12 = 9 \times RV $$ $$ 36 = 9 \times RV $$ $$ RV = \frac{36}{9} = 4 \text{ cm} $$2. Calcul de $UV$ :
On utilise le premier et le troisième rapport : $\frac{RU}{RS} = \frac{UV}{ST}$. $$ \frac{3}{9} = \frac{UV}{15} $$ Simplifions le premier rapport : $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$. $$ \frac{1}{3} = \frac{UV}{15} $$ $$ 1 \times 15 = 3 \times UV $$ $$ 15 = 3 \times UV $$ $$ UV = \frac{15}{3} = 5 \text{ cm} $$III. Cas Étendus et Synthèse des Concepts
III.1 Les Autres Configurations de Thalès
Le théorème de Thalès s’applique également lorsque les points $M$ et $N$ sont sur les prolongements des côtés du triangle (points situés de part et d’autre de $A$).
Si $(MN) \parallel (BC)$, même dans cette configuration, l’égalité des rapports est conservée :
$$ \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC} $$Il est crucial de bien identifier le sommet commun $A$ et de s’assurer que les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.
Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, on donne $AB = 6$ et $AC = 8$. $M$ est le milieu de $[AB]$. La droite passant par $M$ et parallèle à $(BC)$ coupe $[AC]$ en $N$.
- Calculer la longueur $BC$ (Rappel : Théorème de Pythagore).
- Justifier la position de $N$.
- Calculer la longueur $MN$.
1. Calcul de $BC$ (Hypoténuse) :
Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$, d’après le Théorème de Pythagore :
$$ BC^2 = AB^2 + AC^2 $$ $$ BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 $$ $$ BC = \sqrt{100} = 10 $$ Donc $BC = 10$.2. Justification de la position de $N$ :
- Dans le triangle $ABC$ :
- $M$ est le milieu de $[AB]$ (donné).
- La droite $(MN)$ est parallèle à $(BC)$ (donné).
- D’après la **Réciproque du Théorème de la Droite des Milieux**, si une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle au deuxième, elle coupe le troisième côté en son milieu.
- Donc, $N$ est le milieu de $[AC]$. ($AN = NC = 4$).
3. Calcul de $MN$ :
Puisque $M$ et $N$ sont les milieux respectifs de $[AB]$ et $[AC]$, d’après la **Propriété 1 de la Droite des Milieux** :
$$ MN = \frac{1}{2} BC $$ $$ MN = \frac{1}{2} \times 10 = 5 $$ Donc $MN = 5$.