Les Opérations sur les Nombres Entiers et Décimaux – Cours 1ère Année Collège

Cours : Opérations sur les Nombres Entiers et Décimaux
Les Opérations sur les Nombres Entiers et Décimaux

Vocabulaire des opérations

Définition
  • L’addition : $27,32 + 1,45 = 28,77$. Les nombres $27,32$ et $1,45$ sont les termes, le résultat $28,77$ est la somme.
  • La soustraction : $10 – 9,9 = 0,1$. Les nombres $10$ et $9,9$ sont les termes, le résultat $0,1$ est la différence.
  • La multiplication : $15 \times 2 = 30$. Les nombres $15$ et $2$ sont les facteurs, le résultat $30$ est le produit.
  • La division : $36,4 \div 28 = 1,3$. Le nombre $36,4$ est le dividende, $28$ est le diviseur, et le résultat $1,3$ est le quotient.
Remarque
Savoir traduire une phrase en expression mathématique est essentiel.
  • L’expression $6 \times (2,1 + 5)$ se lit : « le produit de 6 par la somme de 2,1 et 5 ».
  • L’expression $9,4 + (52 \times 7)$ se lit : « la somme de 9,4 et du produit de 52 par 7 ».
Inversement :
  • « Le quotient de 34 par la somme de 3 et 4 » s’écrit $34 \div (3 + 4)$.
  • « Le produit de la somme de 5 et 7 par la différence de 8 et 3 » s’écrit $(5 + 7) \times (8 – 3)$.

Suite d’opérations sans parenthèses

Règle 1 : Additions et Soustractions
Dans une suite d’opérations ne comportant que des additions et des soustractions, on effectue les calculs de gauche à droite.
Règle 2 : Multiplications et Divisions
Dans une suite d’opérations ne comportant que des multiplications et des divisions, on effectue les calculs de gauche à droite.
Règle 3 : Priorité des Opérations
Dans une suite d’opérations sans parenthèses, les multiplications et les divisions sont prioritaires sur les additions et les soustractions.

Suite d’opérations avec parenthèses

Règle 4 : Priorité aux parenthèses
Dans une suite d’opérations avec des parenthèses, on effectue d’abord les calculs à l’intérieur des parenthèses.

Distributivité de la multiplication

Activité

Calculer de deux façons différentes l’aire du grand rectangle ABCD dans chaque figure.

Que peut-on en déduire ?

Propriété de Distributivité
Soient $k$, $a$ et $b$ des nombres décimaux.
  • Développement :
    • $k \times (a + b) = k \times a + k \times b$
    • $k \times (a – b) = k \times a – k \times b$
  • Factorisation :
    • $k \times a + k \times b = k \times (a + b)$
    • $k \times a – k \times b = k \times (a – b)$
Le nombre $k$ est appelé le facteur commun.
Application
  1. Développer puis calculer :
    • $A = 17 \times (10 + 2,5)$
    • $B = 11 \times (9 – 1,5)$
  2. Factoriser puis calculer :
    • $C = 15 \times 98 + 15 \times 2$
    • $D = 2,8 \times 5 – 5 \times 0,8$
Correction de l’application
  1. Développement :
    • $A = 17 \times 10 + 17 \times 2,5 = 170 + 42,5 = 212,5$
    • $B = 11 \times 9 – 11 \times 1,5 = 99 – 16,5 = 82,5$
  2. Factorisation :
    • $C = 15 \times (98 + 2) = 15 \times 100 = 1500$
    • $D = 5 \times (2,8 – 0,8) = 5 \times 2 = 10$
Remarque

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