Une **expression littérale** est une expression mathématique qui contient une ou plusieurs lettres représentant des nombres variables. Ces lettres sont appelées des **variables** (souvent $x$, $y$, $a$, $b$, etc.).
Le calcul littéral consiste à manipuler ces expressions en utilisant les mêmes règles que celles des nombres (priorités, distributivité, etc.).
Exemples : $A = 3x + 5$ ; $B = a(b+7)$ ; $C = 2x^2 – 4x + 1$
I. Simplification des Écritures
Pour alléger l’écriture d’une expression littérale, on peut omettre le signe de multiplication ($\times$) :
- Entre un nombre et une lettre. Exemple : $5 \times x$ s’écrit $5x$.
- Entre deux lettres. Exemple : $a \times b$ s’écrit $ab$.
- Entre une lettre et une parenthèse. Exemple : $x \times (y+3)$ s’écrit $x(y+3)$.
- Devant une puissance. Exemple : $4 \times x^2$ s’écrit $4x^2$.
On écrit toujours le nombre avant la lettre ($3x$ et non $x3$). Si le coefficient est 1 ou -1, il est souvent omis ($1x = x$, $-1y = -y$).
Simplifier les expressions suivantes :
- $A = 7 \times x \times x$
- $B = 1 \times a + b \times (-3) \times c$
- $C = y \times 4 \times x \times y$
- $A = 7 \times x \times x = 7x^2$
- $B = 1 \times a + b \times (-3) \times c = a – 3bc$
- $C = y \times 4 \times x \times y = 4xy^2$
II. Réduction et Calcul de Valeur Numérique
II.1 Réduction d’une Expression
**Réduire** une expression littérale consiste à simplifier l’écriture en regroupant les **termes de même nature** (les termes en $x$ ensemble, les termes en $x^2$ ensemble, les nombres seuls ensemble, etc.).
On additionne ou soustrait uniquement les coefficients des termes de même nature.
Exemple : $5x + 3 – 2x + 7 = (5x – 2x) + (3 + 7) = 3x + 10$
II.2 Calcul de la Valeur Numérique
Calculer la **valeur numérique** d’une expression littérale pour une valeur donnée de la variable, c’est remplacer la lettre par cette valeur et effectuer le calcul en respectant les priorités.
Exemple : Calculer $3x+5$ pour $x=2$. $3(2) + 5 = 6 + 5 = 11$.
1. Réduire l’expression : $$ D = 3x^2 – 5x + 7 – x^2 + 8x – 1 $$
2. Calculer la valeur numérique de l’expression réduite $D$ pour $x = -2$.
1. Réduction de $D$ : On regroupe les termes similaires.
$$ D = (3x^2 – x^2) + (-5x + 8x) + (7 – 1) $$ $$ D = 2x^2 + 3x + 6 $$2. Valeur numérique pour $x = -2$ :
$$ D = 2(-2)^2 + 3(-2) + 6 $$ $$ D = 2(4) + (-6) + 6 $$ $$ D = 8 – 6 + 6 $$ $$ D = 8 $$III. Distributivité (Développement)
Développer, c’est transformer un produit en une somme (ou une différence).
Pour des nombres rationnels $a$, $b$, et $k$ :
$$ k(a + b) = k \times a + k \times b $$ $$ k(a – b) = k \times a – k \times b $$Le facteur $k$ est distribué à chaque terme à l’intérieur de la parenthèse.
Développer puis réduire les expressions suivantes :
- $E = 5(2x + 7)$
- $F = -3(4 – 5y) + 2y$
1. Développement de $E$ :
$$ E = 5 \times 2x + 5 \times 7 $$ $$ E = 10x + 35 $$2. Développement et réduction de $F$ :
$$ F = (-3) \times 4 – (-3) \times 5y + 2y $$ $$ F = -12 – (-15y) + 2y $$ $$ F = -12 + 15y + 2y $$ $$ F = -12 + 17y $$IV. Factorisation
Factoriser, c’est transformer une somme (ou une différence) en un produit.
Pour des nombres rationnels $a$, $b$, et $k$ :
$$ k \times a + k \times b = k(a + b) $$ $$ k \times a – k \times b = k(a – b) $$Le nombre $k$ est appelé le **facteur commun**.
La factorisation est l’opération inverse du développement.
Factoriser les expressions suivantes :
- $G = 9x – 9y$
- $H = 12a + 8b$
- $I = 5x^2 – 10x$
1. Factorisation de $G$ : Le facteur commun est $9$.
$$ G = 9(x – y) $$2. Factorisation de $H$ : Le plus grand facteur commun entre $12$ et $8$ est $4$.
$$ H = 4(3a + 2b) $$3. Factorisation de $I$ : Le plus grand facteur commun est $5x$.
$$ I = 5x(x – 2) $$V. Initiation aux Équations du Premier Degré
Une **équation** est une égalité qui contient une variable (l’inconnue, souvent $x$).
Résoudre une équation, c’est trouver toutes les valeurs numériques de l’inconnue qui rendent l’égalité vraie.
Une équation du premier degré à une inconnue peut être écrite sous la forme $ax + b = 0$, où $a$ et $b$ sont des nombres rationnels et $a \neq 0$.
Pour maintenir l’égalité (l’équilibre), toute opération effectuée sur un côté de l’équation doit être **identique** à l’opération effectuée sur l’autre côté.
- On peut **ajouter** ou **soustraire** le même nombre aux deux membres.
- On peut **multiplier** ou **diviser** par le même nombre non nul les deux membres.
Résoudre les équations suivantes :
- $E_1 : x + 7 = 12$
- $E_2 : 3x = -15$
- $E_3 : 2x – 5 = 11$
- $E_4 : 4x + 1 = x – 5$
1. Équation $E_1$ :
$$ x + 7 = 12 $$ $$ x = 12 – 7 $$ $$ x = 5 $$La solution est $5$.
2. Équation $E_2$ :
$$ 3x = -15 $$ $$ x = \frac{-15}{3} $$ $$ x = -5 $$La solution est $-5$.
3. Équation $E_3$ :
$$ 2x – 5 = 11 $$ $$ 2x = 11 + 5 $$ $$ 2x = 16 $$ $$ x = \frac{16}{2} = 8 $$La solution est $8$.
4. Équation $E_4$ : (Regroupement des termes)
$$ 4x + 1 = x – 5 $$ (On met les $x$ à gauche et les nombres à droite) $$ 4x – x = -5 – 1 $$ $$ 3x = -6 $$ $$ x = \frac{-6}{3} = -2 $$La solution est $-2$.