Jusqu’à présent, nous avons travaillé avec les nombres rationnels ($\mathbb{Q}$). Cependant, il existe des longueurs et des quantités exactes qui ne peuvent pas être exprimées comme le quotient de deux entiers ($a/b$). L’exemple le plus célèbre est la diagonale d’un carré de côté 1.
L’ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$ est nécessaire pour représenter absolument toutes les longueurs et tous les points sur une droite infinie, appelée la droite numérique.
I. L’Ensemble des Nombres Réels ($\mathbb{R}$)
L’ensemble des **nombres réels**, noté $\mathbb{R}$, est l’ensemble de tous les nombres qui peuvent être représentés par un point sur une droite graduée infinie (la droite réelle).
Cet ensemble comprend :
- Les **nombres rationnels** ($\mathbb{Q}$, ex: $-5$, $0,75$, $\frac{1}{3}$).
- Les **nombres irrationnels** (nouveaux nombres, ex: $\sqrt{2}$, $\pi$).
En termes d’écriture décimale, un nombre réel est soit un nombre décimal fini, soit un nombre avec une partie décimale infinie (périodique pour les rationnels, non périodique pour les irrationnels).
L’ensemble $\mathbb{R}$ est le plus grand ensemble que nous étudions au collège. Il contient tous les ensembles précédents :
$$ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} $$- $\mathbb{N}$ : Entiers Naturels (0, 1, 2, …)
- $\mathbb{Z}$ : Entiers Relatifs (…, -1, 0, 1, …)
- $\mathbb{D}$ : Nombres Décimaux (écriture finie)
- $\mathbb{Q}$ : Nombres Rationnels (quotients $a/b$)
- $\mathbb{R}$ : Nombres Réels (tous les nombres de la droite)
II. Les Nombres Irrationnels ($\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$)
Un **nombre irrationnel** est un nombre réel qui **n’est pas rationnel**. Il ne peut pas s’écrire sous la forme d’une fraction $\frac{a}{b}$ où $a$ et $b$ sont des entiers.
L’écriture décimale d’un nombre irrationnel est **infinie et non périodique**.
Exemples célèbres :
- $\pi \approx 3,14159265…$ (Le rapport de la circonférence au diamètre d’un cercle)
- $\sqrt{2} \approx 1,41421356…$ (La longueur de la diagonale d’un carré de côté 1)
En utilisant le Théorème de Pythagore, nous pouvons localiser $\sqrt{2}$ sur la droite réelle.
Considérons un triangle $OAB$ rectangle en $A$, tel que $OA = 1$ et $AB = 1$.
- Calculer la longueur de l’hypoténuse $OB$.
- Comment reporter cette longueur sur la droite numérique pour placer le point $\sqrt{2}$ ?
- D’après le Théorème de Pythagore dans le triangle $OAB$ rectangle en $A$ : $$ OB^2 = OA^2 + AB^2 $$ $$ OB^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2 $$ $$ OB = \sqrt{2} $$
- On utilise un compas : on prend l’ouverture égale à la longueur $OB$ et on reporte cette distance à partir de l’origine $O$ (point 0) sur l’axe numérique. Le point obtenu $P$ a pour abscisse $\sqrt{2}$.
III. La Racine Carrée d’un Nombre Réel Positif
Soit $a$ un nombre réel **positif** ($a \ge 0$). La **racine carrée** de $a$, notée $\sqrt{a}$, est le nombre réel positif dont le carré est égal à $a$.
Par définition :
$$ (\sqrt{a})^2 = a $$Condition essentielle : La racine carrée n’est définie que pour les nombres positifs. On ne peut pas calculer la racine carrée d’un nombre strictement négatif (ex: $\sqrt{-4}$ n’existe pas dans $\mathbb{R}$).
Pour tout nombre réel $a \ge 0$ :
- $$ \sqrt{a^2} = a $$ (Si $a$ est positif)
Pour tout nombre réel $x$ :
- $$ \sqrt{x^2} = |x| $$ (Valeur absolue). Si on ne sait pas si $x$ est positif ou négatif, on utilise la valeur absolue. Dans le contexte du $2^{\text{ème}}$ AC, les variables sous le radical sont généralement supposées positives.
Exemples :
$$ \sqrt{16} = 4 \quad \text{car} \quad 4^2 = 16 $$ $$ \sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 $$ $$ (\sqrt{11})^2 = 11 $$Calculer ou simplifier les expressions suivantes :
- $A = \sqrt{81}$
- $B = (\sqrt{1,5})^2$
- $C = \sqrt{100} + \sqrt{9}$
- $$ A = 9 \quad \text{car} \quad 9^2 = 81 $$
- $$ B = 1,5 \quad \text{(par définition)} $$
- $$ C = 10 + 3 = 13 $$
IV. Ordre et Opérations dans $\mathbb{R}$
Toutes les règles d’ordre vues précédemment (addition/soustraction, multiplication/division par un nombre positif ou négatif) **restent valables** dans l’ensemble $\mathbb{R}$.
Règle spécifique pour les racines :
Si $a$ et $b$ sont des nombres réels positifs, alors :
$$ \text{Si } a < b, \text{ alors } \sqrt{a} < \sqrt{b} $$La fonction racine carrée est croissante.
Comparer les nombres suivants :
- $D = \sqrt{5}$ et $E = 2,5$
- $F = -3\sqrt{7}$ et $G = -8$
1. Comparaison de $D = \sqrt{5}$ et $E = 2,5$ :
On compare leurs carrés pour éviter les approximations :
$$ D^2 = (\sqrt{5})^2 = 5 $$ $$ E^2 = (2,5)^2 = 6,25 $$Puisque $5 < 6,25$ et que les deux nombres sont positifs, alors $\sqrt{5} < 2,5$.
2. Comparaison de $F = -3\sqrt{7}$ et $G = -8$ :
On isole les parties positives et on compare :
$$ -F = 3\sqrt{7} \quad \text{et} \quad -G = 8 $$On compare les carrés de $-F$ et $-G$ :
$$ (-F)^2 = (3\sqrt{7})^2 = 3^2 \times (\sqrt{7})^2 = 9 \times 7 = 63 $$ $$ (-G)^2 = 8^2 = 64 $$Puisque $63 < 64$ et que $-F$ et $-G$ sont positifs, on a $-F < -G$, soit $3\sqrt{7} < 8$.
En multipliant l’inégalité par $-1$ (changement d’ordre) :
$$ -3\sqrt{7} > -8 $$Donc $F > G$.