Ce chapitre fait le pont entre les situations concrètes de proportionnalité et l’outil algébrique qui les modélise : la fonction linéaire. Comprendre ce lien est essentiel pour passer des tableaux de valeurs aux représentations graphiques et aux formules mathématiques.
I. Notion de Proportionnalité et Coefficient
Deux séries de nombres sont en situation de **proportionnalité** si l’on peut passer de la première série à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est appelé le **coefficient de proportionnalité**, noté $a$.
Si la ligne 2 est proportionnelle à la ligne 1, alors :
$$ \text{Ligne 2} = a \times \text{Ligne 1} $$Pour trouver $a$, on divise un nombre de la ligne 2 par le nombre correspondant de la ligne 1 (si ce dernier est non nul) :
$$ a = \frac{\text{Nombre de la ligne 2}}{\text{Nombre de la ligne 1}} $$Le tableau ci-dessous représente-t-il une situation de proportionnalité ? Si oui, déterminer le coefficient $a$.
| Ligne 1 ($x$) | 2 | 5 | 8 |
|---|---|---|---|
| Ligne 2 ($y$) | 7 | 17.5 | 28 |
On teste le rapport $a$ pour chaque colonne :
- Colonne 1 : $a_1 = \frac{7}{2} = 3,5$
- Colonne 2 : $a_2 = \frac{17,5}{5} = 3,5$
- Colonne 3 : $a_3 = \frac{28}{8} = 3,5$
Puisque tous les rapports sont égaux, il s’agit bien d’une situation de proportionnalité.
Le coefficient de proportionnalité est $a = 3,5$ (ou $a = \frac{7}{2}$).
II. Représentation Graphique de la Proportionnalité
Dans un repère orthogonal, la représentation graphique d’une situation de proportionnalité est toujours :
- Une **droite**.
- Cette droite passe par l’**origine du repère** (le point de coordonnées $(0, 0)$).
Si la situation n’est pas proportionnelle (ex: $y = 2x + 5$), la représentation graphique est une droite, mais elle ne passe pas par l’origine.
Tracer la représentation graphique de la situation où $y$ est proportionnel à $x$ avec un coefficient $a=2$ (soit $y=2x$). Placer les points $(0, 0)$, $(1, 2)$, $(2, 4)$.
III. Introduction à la Fonction Linéaire
Une **fonction linéaire** est un procédé qui associe à tout nombre $x$ un unique nombre $f(x)$ obtenu en multipliant $x$ par un nombre constant $a$ ($a \neq 0$).
Elle est définie par la formule :
$$ f(x) = a \times x $$- $a$ est appelé le **coefficient directeur** ou la **pente** de la fonction.
- $f(x)$ est l’**image** de $x$ par la fonction $f$.
- $x$ est l’**antécédent** de $f(x)$.
Toute situation de proportionnalité peut être modélisée par une fonction linéaire $f(x) = ax$, où $a$ est le coefficient de proportionnalité.
- Le coefficient de proportionnalité $a$ est égal au coefficient directeur de la fonction linéaire.
- La représentation graphique de $f(x)=ax$ est la droite vue dans la section II.
Soit la fonction linéaire $f$ définie par : $$ f(x) = -4x $$
- Calculer l’image de $3$ par la fonction $f$.
- Calculer l’antécédent de $10$ par la fonction $f$.
1. Calcul de l’image de $3$ : On remplace $x$ par $3$ dans la formule.
$$ f(3) = -4 \times 3 = -12 $$L’image de $3$ est $-12$.
2. Calcul de l’antécédent de $10$ : On résout l’équation $f(x) = 10$.
$$ -4x = 10 $$ $$ x = \frac{10}{-4} = -\frac{5}{2} = -2,5 $$L’antécédent de $10$ est $-2,5$.
IV. Synthèse et Problèmes
Un marchand de fruits vend des pommes à $12 \text{ DH}$ le kilogramme. Soit $x$ la masse de pommes achetée (en $\text{kg}$) et $P(x)$ le prix total payé (en $\text{DH}$).
- Quelle est l’expression de la fonction $P$ ?
- Quel est le prix de $4,5 \text{ kg}$ de pommes ?
- Quelle masse de pommes peut-on acheter avec $66 \text{ DH}$ ?
1. Expression de la fonction $P$ :
Le prix total est proportionnel à la masse, avec un coefficient de $12$.
$$ P(x) = 12x $$2. Prix pour $4,5 \text{ kg}$ : On cherche l’image de $4,5$.
$$ P(4,5) = 12 \times 4,5 = 54 $$Le prix est de $54 \text{ DH}$.
3. Masse pour $66 \text{ DH}$ : On cherche l’antécédent de $66$ (on résout $P(x) = 66$).
$$ 12x = 66 $$ $$ x = \frac{66}{12} = \frac{11}{2} = 5,5 $$On peut acheter $5,5 \text{ kg}$ de pommes.
La fonction linéaire $f(x)=ax$ est l’outil mathématique qui garantit la proportionnalité entre deux variables. Sa représentation graphique, une droite passant par l’origine, est sa marque distinctive essentielle. La valeur $a$ est à la fois le coefficient de proportionnalité et la pente de la droite.