Soit $E$ un K-espace vectoriel quelconque et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. Toute forme linéaire définie sur $F$ peut être étendue en une forme linéaire sur l’espace $E$ tout entier.
Démonstration
Soit $\psi$ une forme linéaire sur $F$. Comme tout sous-espace vectoriel admet un supplémentaire, il existe un sous-espace $G$ de $E$ tel que $E = F \oplus G$. Tout vecteur $x \in E$ se décompose donc de manière unique en $x = x_F + x_G$ avec $x_F \in F$ et $x_G \in G$.
On définit alors une application $\varphi: E \to K$ par $\varphi(x) = \psi(x_F)$. Cette application est bien une forme linéaire sur $E$. De plus, pour tout $x \in F$, sa décomposition est $x=x+0$, donc $\varphi(x) = \psi(x)$. Ainsi, $\varphi$ est un prolongement de $\psi$ à $E$.
Soit $E$ un K-espace vectoriel. Pour tout vecteur non nul $x \in E$, il existe au moins une forme linéaire $\varphi \in E^*$ telle que $\varphi(x) = 1$.
Démonstration
Soit $x \in E$ un vecteur non nul. Considérons le sous-espace vectoriel $F = Vect(x)$, qui est une droite vectorielle. On peut définir une forme linéaire $\psi$ sur $F$ par $\psi(\alpha x) = \alpha$ pour tout $\alpha \in K$. En particulier, $\psi(x)=1$.
D’après le théorème de prolongement, il existe une forme linéaire $\varphi$ sur $E$ qui prolonge $\psi$. On a donc $\varphi(x) = \psi(x) = 1$, ce qui prouve l’existence de la forme linéaire recherchée.