Rang d’une application linéaire – Rang d’une matrice

Rang d’une Application Linéaire et d’une Matrice
Définition et Propriétés de Base

Rappelons qu’une matrice $A \in \mathcal{M}_{m,n}(K)$ peut être interprétée comme une application linéaire de $K^n$ dans $K^m$ via $X \mapsto AX$.

  1. Le rang d’un système de vecteurs $(v_1, \dots, v_p)$ est la dimension du sous-espace vectoriel qu’ils engendrent : $rg(v_1, \dots, v_p) = \dim(Vect(\{v_1, \dots, v_p\}))$.
  2. Le rang d’une application linéaire $f: E \to F$ entre espaces de dimension finie, noté $rg(f)$, est la dimension de son image : $rg(f) = \dim(Im(f))$.
  3. Le rang d’une matrice $A \in \mathcal{M}_{m,n}(K)$, noté $rg(A)$, est le rang de l’application linéaire canoniquement associée.

Remarque

  1. Si $(e_1, \dots, e_n)$ est une base de $E$, alors $Im(f) = Vect(\{f(e_1), \dots, f(e_n)\})$, donc $rg(f) = rg(f(e_1), \dots, f(e_n))$.
  2. Le rang d’une matrice $A$ est égal au rang de la famille de ses vecteurs colonnes.
  3. Le rang d’une application linéaire $f$ est égal au rang de n’importe laquelle de ses matrices représentatives.
  4. D’après le théorème du rang, on a la relation : $rg(f) = \dim(E) – \dim(Ker(f))$.
Matrices Équivalentes

Deux matrices $A$ et $B$ de $\mathcal{M}_{m,n}(K)$ sont dites équivalentes s’il existe deux matrices inversibles $P \in GL_n(K)$ et $Q \in GL_m(K)$ telles que : $$ B = QAP $$ Cette relation est une relation d’équivalence sur $\mathcal{M}_{m,n}(K)$.

Lemme : Forme Canonique des Matrices de Rang r

Une matrice non nulle $A \in \mathcal{M}_{m,n}(K)$ est de rang $r \ge 1$ si et seulement si elle est équivalente à la matrice $J_r$ définie par blocs : $$ J_r = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $$ où $I_r$ est la matrice identité d’ordre $r$.

Théorème : Caractérisation du Rang par l’Équivalence

Deux matrices $A$ et $B$ de $\mathcal{M}_{m,n}(K)$ ont le même rang si et seulement si elles sont équivalentes.

Démonstration

($\implies$) Si $rg(A)=rg(B)=r$, alors d’après le lemme précédent, $A$ et $B$ sont toutes deux équivalentes à la matrice canonique $J_r$. Par transitivité de la relation d’équivalence, $A$ et $B$ sont équivalentes entre elles.

($\impliedby$) Supposons que $A$ et $B$ sont équivalentes, donc $B=QAP$ avec $P$ et $Q$ inversibles. On a $Im(B) = B(K^n) = (QAP)(K^n)$. Comme $P$ est un automorphisme de $K^n$, $P(K^n)=K^n$. Donc $Im(B) = Q(A(K^n)) = Q(Im(A))$. Puisque $Q$ est un automorphisme de $K^m$, elle préserve la dimension des sous-espaces. Par conséquent, $\dim(Im(B)) = \dim(Q(Im(A))) = \dim(Im(A))$, ce qui signifie $rg(B)=rg(A)$.