Les statistiques sont l’ensemble des méthodes qui permettent de collecter, organiser, analyser et interpréter des données. Elles nous aident à comprendre le monde réel, que ce soit les tendances météorologiques, les préférences des consommateurs, ou les résultats scolaires d’une classe.
I. Vocabulaire de Base
- **Population :** L’ensemble étudié (ex: les élèves d’une classe, les arbres d’une forêt).
- **Individu (ou Unité Statistique) :** Un élément de la population (ex: un élève, un arbre).
- **Caractère (ou Variable Statistique) :** La propriété étudiée sur la population (ex: la note, la taille, la couleur des yeux).
- **Effectif :** Le nombre de fois qu’une valeur du caractère apparaît.
- **Effectif Total ($N$) :** Le nombre total d’individus dans la population. C’est la somme de tous les effectifs.
II. Fréquences et Organisation des Données
La **fréquence** d’une valeur du caractère est la proportion (ou la part) de l’effectif correspondant par rapport à l’effectif total ($N$).
$$ \text{Fréquence} (f) = \frac{\text{Effectif correspondant}}{\text{Effectif Total} (N)} $$La fréquence est toujours un nombre compris entre $0$ et $1$. Elle peut être exprimée sous forme de fraction, de décimale ou de pourcentage.
Fréquence en pourcentage : $f \% = f \times 100$.
La somme des fréquences (ou des fréquences en pourcentage) d’une série statistique doit toujours être égale à l’unité (ou $100\%$):
$$ \sum f = 1 \quad \text{et} \quad \sum f\% = 100\% $$Dans une classe de $20$ élèves ($N=20$), voici les résultats obtenus pour la note ($/10$) à un test :
| Note ($x_i$) | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif ($n_i$) | 2 | 4 | 6 | 5 | 3 | 20 |
| Fréquence ($f_i$) | … | … | … | … | … | … |
| Fréquence en $\%$ ($f_i \%$) | … | … | … | … | … | … |
Compléter ce tableau en calculant les fréquences absolues et en pourcentages.
Effectif Total $N = 20$. On calcule $f_i = n_i / 20$ et $f_i \% = f_i \times 100$ :
| Note ($x_i$) | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif ($n_i$) | 2 | 4 | 6 | 5 | 3 | 20 |
| Fréquence ($f_i$) | $2/20 = 0,1$ | $4/20 = 0,2$ | $6/20 = 0,3$ | $5/20 = 0,25$ | $3/20 = 0,15$ | $1$ |
| Fréquence en $\%$ ($f_i \%$) | $10\%$ | $20\%$ | $30\%$ | $25\%$ | $15\%$ | $100\%$ |
Vérification : $0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,25 + 0,15 = 1$. La somme est correcte.
III. Représentations Graphiques
Les données statistiques sont souvent visualisées pour faciliter l’interprétation. Les principaux types de diagrammes sont :
- **Diagramme en Bâtons :** Utilisé pour les caractères dont les valeurs sont discrètes (notes, nombre d’enfants). La hauteur du bâton représente l’effectif ou la fréquence.
- **Histogramme :** Utilisé lorsque les données sont regroupées en classes (ex: âges entre [10, 15], [15, 20]). Les bâtons sont adjacents.
- **Diagramme Circulaire (ou en Secteurs) :** Utilisé pour montrer la répartition d’un total (en pourcentages) sur un cercle.
Construire le diagramme en bâtons pour la série de notes de l’application II.1 (Notes : 5, 6, 7, 8, 9 ; Effectifs max : 6).
IV. Cas Particulier : Regroupement par Classes
Lorsque le caractère est **quantitatif continu** (comme la taille, le poids) ou prend un très grand nombre de valeurs différentes, il est nécessaire de regrouper les données en **classes** (intervalles).
Exemple : Les tailles des étudiants regroupées en classes $[150 \text{ cm}; 160 \text{ cm}[$, $[160 \text{ cm}; 170 \text{ cm}[$, etc.
Attention : Les classes doivent être contiguës (sans trou) et ne jamais se chevaucher. Le point $[a; b[$ signifie que $a$ est inclus et $b$ est exclu.
Un sondage sur la couleur préférée (Bleu, Rouge, Vert) de $50$ personnes a donné les fréquences suivantes : Bleu $30\%$, Rouge $40\%$, Vert $30\%$.
- Calculer l’effectif des personnes préférant le Bleu et l’effectif total des personnes préférant le Rouge ou le Vert.
- Si l’on voulait représenter ces données par un diagramme circulaire, quel angle au centre correspondrait à la couleur Rouge ?
Effectif total $N = 50$.
1. Calcul des effectifs :
- Bleu : L’effectif est $30\%$ de $50$. $$ n_{\text{Bleu}} = 0,30 \times 50 = 15 \text{ personnes} $$
- Rouge ou Vert : L’effectif total est $50$. Le pourcentage pour Rouge ou Vert est $40\% + 30\% = 70\%$. $$ n_{\text{Rouge ou Vert}} = 0,70 \times 50 = 35 \text{ personnes} $$
2. Angle au centre pour le Rouge :
Un cercle complet fait $360^\circ$. Le Rouge représente $40\%$ du total.
$$ \text{Angle} = 40\% \times 360^\circ = 0,40 \times 360^\circ = 144^\circ $$L’angle au centre correspondant à la couleur Rouge serait de $144^\circ$.