La pyramide et le cône de révolution sont des solides de l’espace qui se caractérisent par le fait qu’ils possèdent une base et se rejoignent en un seul point, appelé sommet. Nous allons étudier leurs propriétés et, surtout, la formule commune qui permet de calculer leur volume.
I. La Pyramide
Une **pyramide** est un solide dont :
- La **base** est un polygone (triangle, carré, rectangle, etc.).
- Toutes les autres faces sont des triangles qui se rejoignent en un point unique appelé le **sommet** ($S$). Ces faces triangulaires sont appelées les **faces latérales**.
- La **hauteur** ($h$) de la pyramide est la longueur du segment qui joint le sommet ($S$) à la base, et qui est perpendiculaire au plan de la base.
La pyramide la plus courante a une base carrée $ABCD$ et son sommet est $S$.
- Base : Carré $ABCD$.
- Faces latérales : Triangles $SAB$, $SBC$, $SCD$, $SDA$.
- Arêtes de la base : $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$, $[DA]$.
- Arêtes latérales : $[SA]$, $[SB]$, $[SC]$, $[SD]$.
I.2 Volume d’une Pyramide
Le volume ($V$) d’une pyramide est donné par la formule suivante :
$$ V = \frac{1}{3} \times \text{Aire de la Base} \times \text{Hauteur} $$Où :
- $B$ est l’aire de la base (dépend de la forme de la base).
- $h$ est la hauteur de la pyramide.
II. Le Cône de Révolution
Un **cône de révolution** est un solide engendré par la rotation d’un triangle rectangle autour de l’un des côtés de l’angle droit. Il est un cas particulier de pyramide à base circulaire.
- La **base** est un disque de rayon $r$.
- Le **sommet** ($S$) est le point opposé à la base.
- La **hauteur** ($h$) est la distance entre le sommet et le centre de la base ($O$), et est perpendiculaire au plan de la base.
- La **génératrice** ($g$) est l’hypoténuse du triangle rectangle qui tourne. C’est la distance entre le sommet et n’importe quel point du cercle de base.
Le triangle formé par le rayon, la hauteur et la génératrice est rectangle : $g^2 = r^2 + h^2$ (Théorème de Pythagore).
Le patron d’un cône de révolution est constitué de deux parties :
- Un **disque** (la base) de rayon $r$.
- Un **secteur circulaire** (la surface latérale) de rayon $g$ (la génératrice).
La longueur de l’arc du secteur circulaire doit être égale à la circonférence de la base ($2 \pi r$).
II.2 Volume d’un Cône de Révolution
Le volume du cône suit la même formule générale que celle de la pyramide :
$$ V = \frac{1}{3} \times \text{Aire de la Base} \times \text{Hauteur} $$Puisque la base est un disque de rayon $r$, son aire est $B = \pi r^2$.
La formule spécifique du volume du cône de révolution devient :
$$ V = \frac{\pi r^2 h}{3} $$III. Applications et Calcul de Volume
Calculer le volume des deux solides suivants. On prendra $\pi \approx 3,14$ et on donnera le résultat arrondi à l’unité.
- Une pyramide à base carrée de côté $5 \text{ cm}$ et de hauteur $9 \text{ cm}$.
- Un cône de révolution dont le rayon de la base est $3 \text{ cm}$ et la hauteur est $7 \text{ cm}$.
1. Volume de la Pyramide :
La base est un carré de côté $c = 5 \text{ cm}$. Hauteur $h = 9 \text{ cm}$.
- Aire de la base $B = c \times c = 5 \times 5 = 25 \text{ cm}^2$.
- Volume $V = \frac{B \times h}{3} = \frac{25 \times 9}{3} = 25 \times 3$
Le volume de la pyramide est de $75 \text{ cm}^3$.
2. Volume du Cône de Révolution :
Rayon $r = 3 \text{ cm}$. Hauteur $h = 7 \text{ cm}$.
- Volume $V = \frac{\pi r^2 h}{3}$
- $V = \frac{3,14 \times 3^2 \times 7}{3} = \frac{3,14 \times 9 \times 7}{3}$
On peut simplifier par $3$ : $V = 3,14 \times 3 \times 7 = 3,14 \times 21$
$$ V \approx 65,94 \text{ cm}^3 $$Arrondi à l’unité : $V \approx 66 \text{ cm}^3$.