Test : Comprendre la Dimension d’un Espace Vectoriel

Ce quiz porte sur la notion de **Dimension** d’un espace vectoriel $E$, notée $\dim(E)$. La dimension est l’invariant fondamental qui mesure la « taille » de l’espace.

Rappel : $\dim(E)$ est le nombre de vecteurs dans n’importe quelle **base** de $E$.

Question 1 : Si $\dim(E) = n$, tout ensemble de vecteurs **libre** dans $E$ doit contenir :

Exactement $n$ vecteurs. Au plus $n$ vecteurs. Au moins $n$ vecteurs.

Question 2 : Si $\dim(E) = n$, tout ensemble de vecteurs **générateur** de $E$ doit contenir :

Au plus $n$ vecteurs. Exactement $n$ vecteurs. Au moins $n$ vecteurs.

Question 3 : Quelle est la dimension de l’espace vectoriel des matrices $M_{2, 3}(\mathbb{R})$ (matrices $2 \times 3$) sur $\mathbb{R}$ ?

$2$. $3$. $6$.

Question 4 : Si $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$, quel est le lien entre leurs dimensions ?

$\dim(F) = \dim(E)$. $\dim(F) \le \dim(E)$. $\dim(F) \ge \dim(E)$.

Question 5 : Le théorème du rang pour une application linéaire $f: E \to F$ énonce que :

$\dim(\text{Ker}(f)) = \dim(\text{Im}(f))$. $\dim(\text{Ker}(f)) + \dim(\text{Im}(f)) = \dim(F)$. $\dim(\text{Ker}(f)) + \dim(\text{Im}(f)) = \dim(E)$.

Question 6 : Si $\dim(E) = n$, une famille de $n$ vecteurs est une base si et seulement si :

Elle est libre ou génératrice. Elle est liée. Elle est orthogonale.

Question 7 : Quelle est la dimension de l’espace vectoriel des polynômes $K[X]$ (sans restriction de degré) sur le corps $K$ ?

$0$. $1$. $\infty$.

Question 8 : Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$. Quelle est la formule correcte pour la dimension de la somme $F + G$ ?

$\dim(F+G) = \dim(F) + \dim(G)$. $\dim(F+G) = \dim(F) + \dim(G) – \dim(F \cap G)$. $\dim(F+G) = \dim(F) \cdot \dim(G)$.

Question 9 : Si $\dim(E) = n$, toute famille **libre** peut être complétée pour former une base. Quel est le nombre maximum de vecteurs qui peuvent être ajoutés ?

$n$. $n – |\text{Famille Libre}|$. $|\text{Famille Libre}|$.

Question 10 : Si $\dim(E) = 5$ et que le rang d’une famille génératrice $S$ est $3$, que peut-on dire sur $S$ ?

$S$ est une base de $E$. $S$ est libre mais n’est pas génératrice. $S$ n’est pas génératrice de $E$ (seulement d’un SEV de dim 3).

Quiz terminé !

Félicitations ! Vous avez révisé les propriétés clés de la dimension en algèbre linéaire.

Points clés à retenir :

La dimension est l’invariant de base et définit la taille des familles libres et génératrices.
$\dim(F+G) = \dim(F) + \dim(G) – \dim(F \cap G)$ (Formule de Grassmann).
Le Théorème du Rang lie la dimension de l’espace de départ au noyau et à l’image.

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