Test : Déterminer l’image d’une application linéaire 

Quiz : Déterminer l’Image (Im) d’une Application Linéaire

Concept : Image (Im) et Rang ($\text{rg}$)

L’**Image** $\text{Im}(f)$ d’une application linéaire $f: E \to F$ est l’ensemble des vecteurs de l’espace d’arrivée $F$ qui sont atteints par $f$.

Définition : $\text{Im}(f) = \{f(\vec{u}) \mid \vec{u} \in E\}$

  • $\text{Im}(f)$ est toujours un sous-espace vectoriel de $F$.
  • Le **rang** de $f$, noté $\text{rg}(f)$, est la dimension de $\text{Im}(f)$.

1. L’Image $\text{Im}(f)$ d’une application linéaire $f: E \to F$ est :

2. L’Image $\text{Im}(f)$ est toujours l’espace vectoriel engendré par :

3. Soit $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ définie par $f(x, y) = (x+y, 0)$. Quel est le rang $\text{rg}(f)$ ?

4. Une application linéaire $f: E \to F$ est surjective si et seulement si :

5. Si $f: E \to F$ avec $\dim(E)=3$ et si $\dim(\text{Ker}(f))=1$, quel est le rang $\text{rg}(f)$ ?