Quizz : Application du Théorème du rang

Quiz : Application du Théorème du Rang

Concept : Théorème du Rang

Le **Théorème du Rang** (ou de la Dimension) est essentiel pour l’algèbre linéaire en dimension finie. Il relie la dimension de l’espace de départ $E$, la dimension du Noyau $\text{Ker}(f)$ (la *nullité*), et la dimension de l’Image $\text{Im}(f)$ (le *rang*).

Formule : $\dim(E) = \dim(\text{Ker}(f)) + \text{rg}(f)$

1. Que relie le Théorème du Rang pour une application linéaire $f: E \to F$ ?

2. Soit $f: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3$ une application linéaire. Si $\text{rg}(f) = 2$, quelle est la dimension de $\text{Ker}(f)$ ?

3. Si $f: E \to F$ est injective et $\dim(E)=5$, quel est le rang $\text{rg}(f)$ ?

4. Si $f: E \to F$ avec $\dim(E)=3$ et $\dim(F)=5$. Quel est le rang maximum possible de $f$ ?

5. Soit $f: E \to F$ avec $\dim(E)=\dim(F)=4$. Si $\text{rg}(f) = 4$, que peut-on en conclure ?