Quizz : Comprendre l’espace dual 

Quiz : Comprendre l’Espace Dual $E^*$

Le Dual et la Dualité

L’**Espace Dual** $E^*$ est l’espace vectoriel de toutes les formes linéaires (applications linéaires $E \to K$) définies sur $E$. C’est un concept fondamental pour la compréhension des coordonnées et des tenseurs.

Règles fondamentales :

  • $\dim(E^*) = \dim(E)$ en dimension finie.
  • $\text{Ker}(\phi)$ pour $\phi \in E^*$ non nulle est un hyperplan.

1. Si $\mathcal{B} = (\vec{e}_1, \dots, \vec{e}_n)$ est une base de $E$, quelle condition définit la base duale $\mathcal{B}^* = (\phi_1, \dots, \phi_n)$ ?

2. Si $E$ est de dimension $n$ sur $K$, quelle est la dimension de l’espace dual $E^*$ ?

3. Qu’est-ce que l’annulateur (ou orthogonal) $F^{\circ}$ d’un sous-espace $F$ de $E$ ?

4. Si $\dim(E) = n$ et $F$ est un sous-espace de dimension $k$ ($k < n$), quelle est la dimension de l'annulateur $F^{\circ}$ ?

5. L’application canonique $\Psi: E \to E^{**}$ (vers l’espace bidual) est toujours :