Test : Application (Règles de Cramer)

1. Les Règles de Cramer s’appliquent pour résoudre un système linéaire $A\vec{x} = \vec{b}$ si et seulement si :

Le nombre d’équations est supérieur au nombre d’inconnues. La matrice $A$ est carrée et $\det(A) \ne 0$. Le système est homogène ($\vec{b} = \vec{0}$). La matrice $A$ est triangulaire.

2. Si les Règles de Cramer peuvent être appliquées, combien de solutions le système possède-t-il ?

Une infinité de solutions. Aucune solution. Une solution unique. Deux solutions exactement.

3. Dans la formule $x_j = \frac{\det(A_j)}{\det(A)}$, comment la matrice $A_j$ est-elle définie ?

$A$ dont toutes les colonnes sont remplacées par $\vec{b}$. $A$ dont la $j$-ème colonne est remplacée par le vecteur solution $\vec{x}$. $A$ dont la $j$-ème ligne est remplacée par $\vec{b}^T$. $A$ dont la $j$-ème colonne est remplacée par le vecteur du second membre $\vec{b}$.

4. Pour le système $\begin{cases} x + y = 3 \\ x – y = 1 \end{cases}$, si $\det(A)=-2$ et $\det(A_y) = 2$, que vaut $y$ ?

$y = -1$ $y = 1$ $y = -4$ $y = 2$

5. Quel est le principal inconvénient de la méthode de Cramer en grande dimension ($n \ge 4$) ?

Elle ne garantit pas une solution unique. Elle nécessite de calculer un grand nombre de déterminants, ce qui est très coûteux en temps de calcul. Elle n’est applicable qu’aux systèmes homogènes. Elle donne des résultats sous forme matricielle et non scalaire.

Quiz : Application des Règles de Cramer

Résolution d’un Système par Déterminant

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