Quizz : Inverser une matrice 3×3 (Méthode du pivot)

La Méthode Augmentée (Gauss-Jordan)

La méthode la plus efficace pour trouver la matrice inverse $A^{-1}$ d’une matrice $A$ de taille $n \times n$ (avec $\det(A) \ne 0$) est la méthode de Gauss-Jordan appliquée à la matrice augmentée $[A \mid I]$.

Objectif :

$$ [A \mid I_n] \xrightarrow{\text{Opérations Élémentaires}} [I_n \mid A^{-1}] $$

1. Quelle est la première étape de la méthode du pivot pour inverser une matrice $A$ ?

Calculer $\det(A)$ et l’utiliser comme dénominateur. Créer la matrice augmentée $[A \mid I]$, où $I$ est la matrice identité de même taille que $A$. Calculer la matrice des cofacteurs $\text{Com}(A)$. Calculer $A \cdot A^T$.

2. Quelle opération n’est **pas** une opération élémentaire sur les lignes (et ne peut donc pas être utilisée dans le pivot de Gauss-Jordan) ?

Échange de deux lignes ($L_i \leftrightarrow L_j$). Remplacement d’une ligne par la somme de toutes les autres lignes. Multiplication d’une ligne par un scalaire non nul $\lambda$. Remplacement d’une ligne $L_i$ par $L_i + \lambda L_j$ ($i \ne j$).

3. Si la matrice augmentée $[A \mid I]$ est réduite à la forme $[B \mid C]$ où $B \ne I$, que cela signifie-t-il ?

La matrice inverse est $C^T$. $A$ est singulière (non inversible). La matrice $A$ est symétrique. La matrice inverse est $C \cdot B^{-1}$.

4. L’objectif final de la méthode de Gauss-Jordan est de transformer la partie gauche $A$ de $[A \mid I]$ en :

La matrice des cofacteurs. La matrice triangulaire supérieure. La matrice identité $I_n$. La matrice nulle.

5. En pratique, pour une matrice $n \times n$ (avec $n \ge 3$), quelle méthode est considérée comme la plus efficace pour trouver l’inverse $A^{-1}$ ?

La formule de la comatrice et du déterminant. La méthode du pivot de Gauss-Jordan. La résolution de $A \vec{x} = \vec{e}_i$ pour chaque colonne. L’élévation de $A$ à une puissance négative.

Quiz : Inverser une Matrice $3 \times 3$ (Méthode du Pivot)

La Méthode Augmentée (Gauss-Jordan)

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