Prisme Droit et Cylindre de Révolution
Le Prisme Droit
Activité
Observer les solides ci-dessous:
- Pour chaque solide, compter le nombre de faces, de sommets et d’arêtes.
- Quelles sont les caractéristiques communes de ces solides?
Définition
Un prisme droit est un solide qui a :
- Deux faces parallèles et superposables qui sont des polygones, appelées les bases.
- Les autres faces, appelées faces latérales, qui sont des rectangles.
- La hauteur d’un prisme droit est la distance entre ses deux bases.
Aire latérale et Volume
Propriété
L’aire latérale d’un prisme droit est le produit du périmètre d’une base par la hauteur:
$$ \mathcal{A} = P_{base} \times h $$
Le volume d’un prisme droit est le produit de l’aire d’une base par la hauteur:
$$ \mathcal{V} = A_{base} \times h $$
Application
Un prisme droit a pour base un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent 6 cm et 8 cm. La hauteur du prisme est de 10 cm.
- Calculer le périmètre de la base (il faut d’abord calculer la longueur de l’hypoténuse).
- Calculer l’aire latérale du prisme.
- Calculer le volume du prisme.
Correction de l’application
- Dans le triangle rectangle de base, l’hypoténuse $c$ vérifie $c^{2}=6^{2}+8^{2}=36+64=100$ donc $c=10$ cm. Le périmètre est $P=6+8+10=24$ cm.
- Aire latérale: $\mathcal{A}=P\times h=24\times10=240~cm^{2}$.
- Aire de la base: $A_{base}=(6\times8)/2=24~cm^{2}$. Volume: $\mathcal{V}=A_{base}\times h=24\times10=240~cm^{3}$.
Le Cylindre de Révolution
Définition
Un cylindre de révolution est un solide engendré par la rotation d’un rectangle autour d’un de ses côtés. Il est composé de:
- Deux disques parallèles et superposables, appelés les bases.
- Une surface courbe, appelée surface latérale.
- La hauteur est la distance entre les centres des deux bases.
Aire latérale et Volume
Propriété
Pour un cylindre de rayon $r$ et de hauteur $h$:
- L’aire latérale est: $\mathcal{A} = (2 \times \pi \times r) \times h$
- Le volume est: $\mathcal{V} = (\pi \times r^2) \times h$
Application
Une boîte de conserve cylindrique a un diamètre de 10 cm et une hauteur de 12 cm.
- Calculer son aire latérale (l’étiquette).
- Calculer son volume.
Correction de l’application
Le rayon est $r=10/2=5$ cm.
- Aire latérale: $\mathcal{A}=(2\times\pi\times5)\times12=120\pi\approx377~cm^{2}$.
- Volume : $\mathcal{V}=(\pi\times5^{2})\times12=300\pi\approx942,5~cm^{3}$.
Remarque
Ces cours sont disponibles en format PDF et les fichiers sources LaTeX peuvent être achetés. Contactez-nous pour plus d’informations.