Test : Théorème de Rouché-Fontené (Compatibilité) 

Quiz : Théorème de Rouché-Fontené (Compatibilité)

Le Critère de Compatibilité des Systèmes Linéaires

Le **Théorème de Rouché-Fontené** (pour un système $A\vec{x} = \vec{b}$) utilise le rang de la matrice des coefficients $A$ ($\text{rg}(A)$) et le rang de la matrice augmentée $[A \mid \vec{b}]$ ($\text{rg}(A \mid \vec{b})$) pour déterminer l’existence et le nombre de solutions.

Conditions du Théorème :

  • **Compatible (Solution existe) :** $\text{rg}(A) = \text{rg}(A \mid \vec{b})$
  • **Incompatible (Pas de solution) :** $\text{rg}(A) \ne \text{rg}(A \mid \vec{b})$

1. Quelle est la condition pour qu’un système linéaire $A\vec{x} = \vec{b}$ soit compatible (admette au moins une solution) ?

2. Si $\text{rg}(A) = 2$ et $\text{rg}(A \mid \vec{b}) = 3$, que peut-on dire du système ?

3. Quelle est la condition nécessaire et suffisante pour avoir une **solution unique** dans un système $A\vec{x} = \vec{b}$ avec $n$ inconnues ?

4. Si un système à $n$ inconnues admet une **infinité de solutions**, alors :

5. Si $\text{rg}(A) = \text{rg}(A \mid \vec{b}) = 3$ et qu’il y a 5 inconnues, la dimension de l’espace des solutions est :