Quizz : Qu’est-ce qu’une matrice de passage ? 

Quiz : Qu’est-ce qu’une Matrice de Passage ?

Définition et Utilisation de $P_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}’}$

La **Matrice de Passage** $P_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}’}$ est la matrice qui permet de transformer les coordonnées des vecteurs d’une base à une autre.

Définition :

Ses colonnes sont les vecteurs de la **nouvelle base** ($\mathcal{B}’$) exprimés dans la **base de départ** ($\mathcal{B}$).

1. Comment est définie la matrice de passage $P_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}’}$ de la base $\mathcal{B}$ à la base $\mathcal{B}’$ ?

2. Soient $P_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}’}$ la matrice de $\mathcal{B}$ à $\mathcal{B}’$ et $P_{\mathcal{B}’ \to \mathcal{B}}$ la matrice de $\mathcal{B}’$ à $\mathcal{B}$. Quelle relation est toujours vraie ?

3. Si $X$ est le vecteur colonne des coordonnées dans $\mathcal{B}$ et $X’$ le vecteur colonne dans $\mathcal{B}’$. Quelle formule permet de passer de $X$ à $X’$ ?

4. Quelle condition nécessaire et suffisante doit satisfaire une matrice $P$ pour être une matrice de passage entre deux bases ?

5. Si $M_{\mathcal{B}}(f)$ est la matrice de l’application $f$ dans $\mathcal{B}$, et $P = P_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}’}$. Quelle est la formule pour obtenir $M_{\mathcal{B}’}(f)$ ?