Quizz : Trouver les valeurs propres d’une matrice 2×2

La Méthode du Polynôme Caractéristique

Les valeurs propres $\lambda$ d’une matrice $A$ sont les racines de l’équation caractéristique :

$$ \det(A – \lambda I) = 0 $$ Pour une matrice $2 \times 2$, $\det(A – \lambda I) = (a_{11}-\lambda)(a_{22}-\lambda) – a_{12}a_{21}$.

1. Si $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, quelle est la matrice $A – \lambda I$ ?

$\begin{pmatrix} a-\lambda & b \\ c & d-\lambda \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} a-\lambda & b-\lambda \\ c-\lambda & d-\lambda \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} – \lambda$ $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$

2. Quel est le polynôme caractéristique $P_A(\lambda)$ pour $A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$ ?

$\lambda^2 + 8\lambda + 15$ $(3-\lambda)(5-\lambda)$ $15 + \lambda$ $\lambda^2 – 8\lambda – 15$

3. Quelles sont les valeurs propres de la matrice $A = \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$ ?

$\lambda_1 = 2$ et $\lambda_2 = 7$ $\lambda_1 = 0$ et $\lambda_2 = 4$ $\lambda_1 = 2$ et $\lambda_2 = 4$ Les racines de $\lambda^2 – 6\lambda + 8 = 0$

4. Calculez l’équation caractéristique pour $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$ :

$\lambda^2 – \lambda + 6 = 0$ $\lambda^2 + 6 = 0$ $\lambda^2 – \lambda – 6 = 0$ $\lambda – \lambda^2 – 6 = 0$

5. Une matrice $A$ a un polynôme caractéristique $P_A(\lambda) = \lambda^2 – 5\lambda + 6$. Quelles sont les valeurs propres ?

$\lambda_1 = 5$ et $\lambda_2 = 1$ $\lambda_1 = 2$ et $\lambda_2 = 3$ $\lambda_1 = 6$ et $\lambda_2 = -1$ $\lambda_1 = 0$ et $\lambda_2 = 5$

Quiz : Trouver les Valeurs Propres d’une Matrice $2 \times 2$

La Méthode du Polynôme Caractéristique

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