Test : Qu’est-ce qu’un produit scalaire ? (Propriétés)

Définition du Produit Scalaire

Un produit scalaire $\langle u, v \\rangle$ sur un espace vectoriel réel $E$ est une forme bilinéaire symétrique définie positive. Ces trois propriétés sont fondamentales pour définir les notions de norme, de distance et d’orthogonalité.

1. La propriété de bilinéarité signifie que $\langle u + v, w \\rangle$ est égal à :

$\langle u, v \\rangle + \langle u, w \\rangle$ $\langle u, w \\rangle + \langle v, w \\rangle$ $\langle w, u \\rangle \cdot \langle w, v \\rangle$ $\langle u, v \\rangle + \langle w, w \\rangle$

2. La propriété de symétrie pour un produit scalaire réel $\langle u, v \\rangle$ s’écrit :

$\langle u, v \\rangle = 0$ $\langle u, v \\rangle = \langle v, u \\rangle$ $\langle u, u \\rangle \ge 0$ $\langle u, v \\rangle = \langle u, u \\rangle$

3. La propriété définie positive exige que $\langle u, u \\rangle \ge 0$. Quelle est la condition additionnelle essentielle ?

$\langle u, v \\rangle = 0$ si et seulement si $u=0$ ou $v=0$ $\langle u, u \\rangle = 0$ si et seulement si $u$ est un vecteur propre $\langle u, u \\rangle = 0$ si et seulement si $u = 0$ $\langle u, u \\rangle$ est toujours supérieur à 1

4. Comment la norme (longueur) d’un vecteur $u$, notée $\|u\|$, est-elle définie à partir du produit scalaire ?

$\|u\| = \langle u, u \\rangle$ $\|u\| = \sqrt{\langle u, u \\rangle}$ $\|u\| = \langle u, v \\rangle$ $\|u\| = |\langle u, u \\rangle|$

5. Deux vecteurs $u$ et $v$ sont dits orthogonaux si :

$\langle u, v \\rangle = 1$ $\|u\| = \|v\|$ $\langle u, v \\rangle = 0$ $u$ et $v$ sont colinéaires

Quiz : Qu’est-ce qu’un produit scalaire ? (Propriétés)

Définition du Produit Scalaire

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