Test : Vecteurs orthogonaux (Définition) 

Quiz : Vecteurs orthogonaux (Définition et Calcul)

Définition de l’Orthogonalité

Deux vecteurs $\mathbf{u}$ et $\mathbf{v}$ sont orthogonaux (ou perpendiculaires) si le produit scalaire standard (euclidien) entre eux est nul :

$$\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \sum_{i=1}^{n} u_i v_i = 0$$

Ce quiz teste la compréhension de cette condition et son application.

1. Quelle est la condition nécessaire et suffisante pour que deux vecteurs $\mathbf{u}$ et $\mathbf{v}$ soient orthogonaux ?

2. Les vecteurs $\mathbf{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ sont-ils orthogonaux ?

3. Si deux vecteurs $\mathbf{u}$ et $\mathbf{v}$ non nuls sont orthogonaux, quel est l’angle $\theta$ entre eux ?

4. Vrai ou Faux : Le vecteur nul $\mathbf{0}$ est orthogonal à tout autre vecteur $\mathbf{v}$.

5. Si $\mathbf{u}$ et $\mathbf{v}$ sont des vecteurs propres d’une matrice symétrique associés à des valeurs propres distinctes, alors $\mathbf{u}$ et $\mathbf{v}$ sont :

6. Les vecteurs $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ sont-ils orthogonaux ?

7. Si $\mathbf{w}$ est orthogonal à lui-même ($\langle \mathbf{w}, \mathbf{w} \rangle = 0$) dans un espace euclidien, alors $\mathbf{w}$ doit être :

8. Si $\mathbf{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ x \end{pmatrix}$ et $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ -6 \end{pmatrix}$ sont orthogonaux, quelle doit être la valeur de $x$ ?

9. Une base de vecteurs $(\mathbf{e}_1, \dots, \mathbf{e}_n)$ est dite orthonormée si, pour tout $i, j \in \{1, \dots, n\}$ :

10. Soit $W$ un sous-espace vectoriel. Le vecteur $\mathbf{u} – \mathrm{proj}_W(\mathbf{u})$ (le résidu) est toujours orthogonal à :