Quiz : Qu’est-ce qu’une base orthonormale ?

La Base Idéale de l’Espace Euclidien

Une base $(\mathbf{e}_1, \dots, \mathbf{e}_n)$ est orthonormale (BON) si ses vecteurs sont à la fois orthogonaux deux à deux et unitaires (de norme 1). La BON est cruciale pour simplifier les calculs de coordonnées, de produits scalaires et de projections.

1. Pour qu’une base soit orthonormale, quelles sont les deux conditions qui doivent être satisfaites ?

Les vecteurs sont colinéaires et de norme 1. Les vecteurs sont orthogonaux et forment une famille génératrice. Les vecteurs sont deux à deux orthogonaux et unitaires. La matrice de passage est triangulaire.

2. Si $(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2)$ est une BON, que vaut $\langle \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2 \rangle$ ?

1 0 $\sqrt{2}$ $\mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2$

3. Si $\mathbf{e}_i$ est un vecteur d’une BON, que vaut $\|\mathbf{e}_i\|$ ?

0 $n$ (dimension de l’espace) 1 $\|\mathbf{e}_i\|^2$

4. Si $\mathbf{u} = \sum_{i=1}^n x_i \mathbf{e}_i$ dans une BON, comment calculer le coefficient $x_k$ ?

$x_k = \|\mathbf{u}\|$ $x_k = \langle \mathbf{u}, \mathbf{e}_k \rangle$ $x_k = \langle \mathbf{e}_k, \mathbf{e}_k \rangle$ $x_k = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \langle \mathbf{u}, \mathbf{e}_i \rangle$

5. La matrice $P$ de passage d’une BON à une autre BON est une matrice :

Symétrique. Inversible avec $P^{-1} = P^T$ (Matrice orthogonale). De projection. Triangulaire.

Quiz : Qu’est-ce qu’une base orthonormale ?

La Base Idéale de l’Espace Euclidien

Conclusion