Test : Qu’est-ce que le supplémentaire orthogonal ?

1. Quel est l’ensemble des vecteurs qui composent le supplémentaire orthogonal $W^\perp$ ?

Les vecteurs orthogonaux à un seul vecteur de $W$. Tous les vecteurs orthogonaux à tous les vecteurs de $W$. Les vecteurs de $W$ eux-mêmes. L’image de $W$.

2. Le supplémentaire orthogonal $W^\perp$ est toujours :

Un sous-espace vectoriel de $E$. L’ensemble vide. Un plan vectoriel (même si $W$ est une droite). L’espace $E$ lui-même.

3. Si $E$ est de dimension $n$, quelle est la relation entre les dimensions de $W$ et $W^\perp$ ?

$\dim(W^\perp) = \dim(W)$ $\dim(W) + \dim(W^\perp) = n$ $\dim(W^\perp) = n^2$ $\dim(W^\perp) = n$

4. L’intersection de $W$ et de son supplémentaire orthogonal $W^\perp$ est toujours :

L’espace $E$. Le vecteur nul $\{\mathbf{0}\}$. Le sous-espace $W$. Un plan vectoriel.

5. Dans $\mathbb{R}^3$, si $W$ est le plan $z=0$ (le plan $xy$), alors $W^\perp$ est :

Le plan $y=0$ (le plan $xz$). La droite engendrée par $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$. La droite engendrée par $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ (l’axe $z$). L’ensemble vide.

6. Si $W = \mathrm{Vect}(\mathbf{v})$ dans $\mathbb{R}^2$ avec $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, quelle est la base de $W^\perp$ ?

$\left( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right)$ $\left( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right)$ $\left( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right)$ $\left( \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix} \right)$

7. Que vaut le supplémentaire orthogonal du supplémentaire orthogonal, $(W^\perp)^\perp$ ?

$E$ (l’espace entier) $W^\perp$ $W$ $\{\mathbf{0}\}$

8. Pour toute matrice $A$, le noyau de $A$, $\mathrm{Ker}(A)$, est le supplémentaire orthogonal de quel espace ?

$\mathrm{Im}(A)$ (Image de $A$). $\mathrm{Im}(A^T)$ (Image de la transposée de $A$). $\mathrm{Ker}(A^T)$. L’espace de ligne de $A$.

9. Soit $W = \mathrm{Vect}(\mathbf{u})$ avec $\mathbf{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ dans $\mathbb{R}^2$. Le vecteur $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \end{pmatrix}$ appartient-il à $W^\perp$ ?

Oui Non

10. Que signifie l’écriture $E = W \oplus W^\perp$ ?

$E = W \cup W^\perp$ $E = W + W^\perp$ et $W \cap W^\perp = \{\mathbf{0}\}$ $E = W \times W^\perp$ (Produit cartésien) Chaque vecteur de $E$ est orthogonal à un vecteur de $W^\perp$

Quiz : Qu’est-ce que le supplémentaire orthogonal $W^\perp$ ?

L’Espace Complémentaire

Conclusion