Quizz : Projection orthogonale sur un sous-espace

1. Si $\mathbf{p} = \mathrm{proj}_W(\mathbf{u})$, quelle condition essentielle doit satisfaire le vecteur résiduel $\mathbf{r} = \mathbf{u} – \mathbf{p}$ ?

$\mathbf{r}$ doit être un multiple de $\mathbf{u}$. $\mathbf{r}$ doit être orthogonal à tout vecteur de $W$. $\|\mathbf{r}\|$ doit être nul. $\mathbf{r}$ doit appartenir à $W$.

2. Si $(\mathbf{e}_1, \dots, \mathbf{e}_k)$ est une base orthonormale de $W$, la formule de $\mathrm{proj}_W(\mathbf{u})$ est :

$\sum_{i=1}^{k} \frac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{e}_i \rangle}{\|\mathbf{u}\|} \mathbf{e}_i$ $\sum_{i=1}^{k} \langle \mathbf{u}, \mathbf{e}_i \rangle \mathbf{e}_i$ $\langle \mathbf{u}, \mathbf{e}_1 \rangle + \langle \mathbf{u}, \mathbf{e}_2 \rangle$ $\mathbf{u} – \mathbf{r}$

3. Quel vecteur dans $W$ minimise la distance $\|\mathbf{u} – \mathbf{w}\|$ entre $\mathbf{u}$ et un vecteur $\mathbf{w} \in W$ ?

Le vecteur nul $\mathbf{0}$ Le vecteur $\mathbf{u}$ lui-même La projection orthogonale $\mathrm{proj}_W(\mathbf{u})$ Un vecteur quelconque de $W$

4. Si $P_W$ est l’opérateur de projection sur $W$, que représente $\mathrm{Im}(P_W)$ (l’image de l’opérateur) ?

Le supplémentaire orthogonal $W^\perp$. L’espace $E$ tout entier. Le sous-espace $W$. Le noyau $\mathrm{Ker}(P_W)$.

5. Si $P_W$ est l’opérateur de projection sur $W$, que représente $\mathrm{Ker}(P_W)$ (le noyau de l’opérateur) ?

Le sous-espace $W$. Le supplémentaire orthogonal $W^\perp$. L’espace nul $\{\mathbf{0}\}$. L’image $\mathrm{Im}(P_W)$.

6. Quelle est la projection orthogonale de $\mathbf{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ sur la droite $W = \mathrm{Vect}(\mathbf{v})$ avec $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ ?

$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

7. Pourquoi est-il fortement recommandé d’utiliser une base orthogonale ou orthonormale de $W$ pour calculer $\mathrm{proj}_W(\mathbf{u})$ ?

La projection n’est pas définie sans BON. Cela garantit que le vecteur résiduel $\mathbf{r}$ est nul. La formule de projection se simplifie grandement (somme de projections sur chaque vecteur de base). La matrice de projection $P_W$ est alors toujours la matrice identité $I$.

8. Si $\mathbf{u} = \mathbf{p} + \mathbf{r}$, où $\mathbf{p} \in W$ et $\mathbf{r} \in W^\perp$, que peut-on dire de $\langle \mathbf{p}, \mathbf{r} \rangle$ ?

$\langle \mathbf{p}, \mathbf{r} \rangle = \|\mathbf{u}\|$ $\langle \mathbf{p}, \mathbf{r} \rangle = 1$ $\langle \mathbf{p}, \mathbf{r} \rangle = 0$ $\langle \mathbf{p}, \mathbf{r} \rangle = \langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle$

9. D’après le Théorème de Pythagore pour la norme euclidienne, si $\mathbf{u} = \mathbf{p} + \mathbf{r}$ avec $\langle \mathbf{p}, \mathbf{r} \rangle = 0$, alors :

$\|\mathbf{u}\| = \|\mathbf{p}\| + \|\mathbf{r}\|$ $\|\mathbf{u}\|^2 = \|\mathbf{p}\|^2 + \|\mathbf{r}\|^2$ $\|\mathbf{u}\|^2 = \|\mathbf{p}\|^2 – \|\mathbf{r}\|^2$ $\|\mathbf{u}\| = \mathbf{0}$

10. Si $W = \mathrm{Vect}(\mathbf{u})$, quelle est la projection orthogonale de $\mathbf{u}$ sur $W$ ?

$\mathbf{u}$ $\mathbf{0}$ Le vecteur nul $\frac{\mathbf{u}}{\|\mathbf{u}\|}$

Quiz : Projection orthogonale sur un sous-espace

Décomposition en Somme Orthogonale

Conclusion