Quizz : Théorème spectral (Matrices symétriques)

Le Théorème Spectral

Le Théorème Spectral pour les matrices réelles symétriques $A$ établit des conditions très fortes et simplificatrices sur leur structure, garantissant une diagonalisation exceptionnelle.

La condition de symétrie est $A = A^T$.

1. Les valeurs propres d’une matrice symétrique réelle $A$ sont toujours :

Complexes mais non réelles. Réelles. Positives ou nulles. Égales au déterminant.

2. Le Théorème Spectral garantit que toute matrice symétrique réelle est :

Inversible. Diagonalisable. Trigonalisable, mais pas nécessairement diagonalisable. Nilpotente.

3. Si $A = P D P^{-1}$ est la diagonalisation d’une matrice symétrique, la matrice de passage $P$ peut être choisie comme une matrice :

Triangulaire supérieure. Orthogonale ($P^T = P^{-1}$). Symétrique elle-même. De projection ($P^2 = P$).

4. Si $\mathbf{u}$ et $\mathbf{v}$ sont des vecteurs propres d’une matrice symétrique associés à des valeurs propres distinctes $\lambda_1 \neq \lambda_2$, alors $\mathbf{u}$ et $\mathbf{v}$ sont :

Colinéaires. Linéairement dépendants. Orthogonaux. Toujours de norme 1.

5. Pour une matrice symétrique $A$, comment la multiplicité algébrique (m.a.) d’une valeur propre $\lambda$ se compare-t-elle à sa multiplicité géométrique (m.g.) ?

m.a. > m.g. m.a. < m.g. m.a. = m.g. Il n’y a pas de relation garantie.

6. Le fait que $P$ soit orthogonale dans $A = P D P^T$ signifie que la base de vecteurs propres est :

Une base quelconque. Une base orthonormale (BON). La base canonique. Une base triangulaire.

7. Une matrice symétrique $A$ est dite définie positive (pour la forme quadratique $q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}$) si et seulement si :

Son déterminant est nul. Toutes ses valeurs propres sont strictement positives ($\lambda_i > 0$). Elle est orthogonale. Toutes ses valeurs propres sont négatives ou nulles ($\lambda_i \le 0$).

8. La matrice nulle $A = \mathbf{0}$ est-elle symétrique ?

Non. Oui, uniquement si $n=2$. Oui, toujours. Seulement si elle est diagonalisable.

9. La matrice $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ n’est pas symétrique. Quelles propriétés du Théorème Spectral viole-t-elle ?

Elle a des valeurs propres complexes. Elle n’est pas diagonalisable (m.a. $\neq$ m.g.). Elle a des vecteurs propres orthogonaux. Son déterminant est $-1$.

10. Vrai ou Faux : Si $A$ est symétrique et inversible, alors son inverse $A^{-1}$ est aussi symétrique.

Vrai Faux

Quiz : Théorème spectral (Matrices symétriques réelles)

Le Théorème Spectral

Conclusion