Quizz : Forme bilinéaire symétrique ou antisymétrique ?

Classification des Formes Bilinéaires

Toute forme bilinéaire $f$ peut être décomposée de manière unique en une partie symétrique $f_S$ et une partie antisymétrique $f_A$ : $f = f_S + f_A$. Cette distinction est fondamentale en algèbre linéaire et pour l’étude des formes quadratiques.

1. Une forme bilinéaire $f$ est symétrique si elle vérifie :

$f(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = 0$ $f(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = f(\mathbf{v}, \mathbf{u})$ $f(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = -f(\mathbf{v}, \mathbf{u})$ $f(\mathbf{u}, \mathbf{u}) = 0$

2. Une forme bilinéaire $f$ est antisymétrique si elle vérifie :

$f(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \mathbf{u} + \mathbf{v}$ $f(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = -f(\mathbf{v}, \mathbf{u})$ $f(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = f(\mathbf{v}, \mathbf{u})$ $f(\mathbf{u}, \mathbf{u}) = 1$

3. La matrice $A$ d’une forme bilinéaire symétrique $f_S$ vérifie quelle relation ?

$A = -A$ $A = A^{-1}$ $A = A^T$ $A = -A^T$

4. La matrice $A$ d’une forme bilinéaire antisymétrique $f_A$ vérifie quelle relation ?

$A = A^T$ $A = A^2$ $A = -A^T$ $A = I$

5. Que peut-on dire des coefficients diagonaux ($a_{ii}$) d’une matrice antisymétrique $A$ ?

Ils sont toujours égaux à 1. Ils sont toujours nuls ($a_{ii} = 0$). Ils sont tous égaux à la trace. Ils sont égaux aux valeurs propres.

6. Pour toute forme bilinéaire $f$, la forme symétrique $f_S(\mathbf{u}, \mathbf{v})$ est donnée par :

$\frac{1}{2} [f(\mathbf{u}, \mathbf{v}) + f(\mathbf{v}, \mathbf{u})]$ $\frac{1}{2} [f(\mathbf{u}, \mathbf{v}) – f(\mathbf{v}, \mathbf{u})]$ $f(\mathbf{u}, \mathbf{v}) + f(\mathbf{v}, \mathbf{u})$ $f(\mathbf{u}, \mathbf{v})$

7. Une forme bilinéaire $f$ est dite alternée si $f(\mathbf{u}, \mathbf{u}) = 0$. Sur un espace réel, toute forme alternée est :

Symétrique. Définie positive. Antisymétrique. La matrice nulle.

8. La forme quadratique $q(\mathbf{u}) = f(\mathbf{u}, \mathbf{u})$ associée à une forme bilinéaire $f$ ne dépend en réalité que de :

La partie antisymétrique $f_A$. La partie symétrique $f_S$. Le déterminant de la matrice $A$. La trace de la matrice $A$.

9. La matrice suivante $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$ est-elle la matrice d’une forme bilinéaire symétrique ?

Oui Non

10. La matrice suivante $B = \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ -4 & 0 \end{pmatrix}$ est-elle la matrice d’une forme bilinéaire antisymétrique ?

Oui Non

Quiz : Forme bilinéaire symétrique ou antisymétrique ?

Classification des Formes Bilinéaires

Conclusion