Quizz : Qu’est-ce qu’une forme quadratique ?

Définition de $q(\mathbf{x})$

Une forme quadratique $q$ est une application d’un espace vectoriel $E$ dans son corps de base $\mathbb{K}$, associée à une forme bilinéaire $f$, telle que :

$$ q(\mathbf{x}) = f(\mathbf{x}, \mathbf{x}) $$

Toute forme quadratique est entièrement déterminée par la partie symétrique de la forme bilinéaire associée.

1. Comment exprime-t-on la forme quadratique $q(\mathbf{x})$ si $\mathbf{x} = (x_1, x_2)$ ?

Une somme de termes de degré 1 et 2. Une somme de termes de degré 2 seulement (carrés et produits croisés). Uniquement des termes au carré ($x_1^2 + x_2^2$). Le déterminant de la matrice associée.

2. Si $A$ est la matrice associée à la forme quadratique $q$ (en choisissant la matrice symétrique $A_S$), l’expression de $q(\mathbf{x})$ est :

$\mathbf{x}^T A \mathbf{x}$ $\mathbf{x} A \mathbf{x}^T$ $\mathbf{x} + \mathbf{x}^T A$ $A \mathbf{x}$

3. La formule de la polarisation permet de retrouver la forme bilinéaire symétrique $f_S(\mathbf{x}, \mathbf{y})$ à partir de $q(\mathbf{x})$. Laquelle est correcte ?

$f_S(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = q(\mathbf{x} + \mathbf{y}) – q(\mathbf{x}) – q(\mathbf{y})$ $f_S(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \frac{1}{4} [q(\mathbf{x} + \mathbf{y}) – q(\mathbf{x} – \mathbf{y})]$ $f_S(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \frac{1}{2} [q(\mathbf{x} + \mathbf{y}) + q(\mathbf{x})]$ $f_S(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \mathbf{x}^T \mathbf{y}$

4. Quelle est la matrice symétrique $A$ associée à $q(\mathbf{x}) = 3x_1^2 + 4x_1 x_2 + 5x_2^2$ ?

$A = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$ $A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$ $A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$ $A = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$

5. Si $q(\mathbf{x})$ peut prendre des valeurs positives et négatives, elle est dite :

Définie positive. Définie négative. Indéfinie. Semi-définie positive.

6. $q(\mathbf{x})$ est définie positive si et seulement si pour tout $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$ :

$q(\mathbf{x}) = 0$ $q(\mathbf{x}) > 0$ $q(\mathbf{x}) < 0$ $q(\mathbf{x}) \ge 0$ et il existe $\mathbf{x}$ tel que $q(\mathbf{x}) = 0$

7. Pour une matrice symétrique $A$, $q$ est définie positive si et seulement si ses valeurs propres sont :

Toutes strictement positives ($\lambda_i > 0$). Toutes strictement négatives ($\lambda_i < 0$). Négatives ou nulles ($\lambda_i \le 0$). Zéro (nilpotente).

8. La fonction $h(\mathbf{x}) = x_1^2 + x_2 + 5x_3^2$ est-elle une forme quadratique ?

Oui Non

9. Le Théorème de Sylvester affirme que le signe de $q(\mathbf{x})$ est déterminé par la signature, qui est un triplet $(n_+, n_-, n_0)$. À quoi correspond $n_0$ ?

Le nombre de termes carrés dans $q(\mathbf{x})$. Le nombre de valeurs propres strictement positives. Le nombre de valeurs propres nulles (la dimension du radical). Le rang de la matrice $A$.

10. La norme euclidienne au carré $\|\mathbf{x}\|^2$ est-elle une forme quadratique ?

Oui, car elle est associée au produit scalaire standard. Non, car elle n’a pas de produits croisés ($x_i x_j$). Seulement si la dimension est 2. Non, car $q(\mathbf{x}) \ge 0$ est toujours vérifié.

Quiz : Qu’est-ce qu’une forme quadratique ?

Définition de $q(\mathbf{x})$

Conclusion