Quizz : Réduction de Gauss d’une forme quadratique

1. Quel est le résultat final recherché de la réduction de Gauss sur $q(\mathbf{x})$ ?

Une factorisation en produit de polynômes de degré 1. Une somme ou différence de carrés de formes linéaires indépendantes. La matrice identité. La matrice triangulaire supérieure.

2. Si $q(\mathbf{x})$ commence par $3x_1^2 + 2x_1 x_2 + \dots$, quelle est la première étape utilisant $x_1$ ?

Remplacer $x_1$ par 0. Mettre le carré complet : $3(x_1 + \frac{1}{3} x_2)^2$. Utiliser le produit croisé $x_1 x_2$ pour changer de base. Diviser toute la forme par $3x_1^2$.

3. Si $q(\mathbf{x})$ est de la forme $x_1 x_2 + \dots$, comment peut-on introduire des termes carrés pour commencer la réduction ?

En factorisant $x_1 x_2$ en $x_1^2 / x_2$. Par le changement de variables $x_1 = L_1, x_2 = L_2$ pour obtenir $L_1 L_2$. Par le changement de variables $x_1 = y_1 + y_2$ et $x_2 = y_1 – y_2$. En ignorant les produits croisés.

4. L’information essentielle que la réduction de Gauss permet de déterminer sur $q(\mathbf{x})$ est :

Le déterminant de la matrice associée. Le rang de la matrice $A$ et sa trace. La signature $(n_+, n_-, n_0)$. Les valeurs propres de la matrice $A$.

5. Si la réduction donne $q(\mathbf{x}) = 2L_1^2 – 5L_2^2 + 0L_3^2$, quelle est la signature $(n_+, n_-, n_0)$ ?

$(2, 1, 0)$ $(2, 0, 1)$ $(1, 2, 0)$ $(1, 1, 1)$

6. Quelle est la matrice $A’$ associée à la forme quadratique après sa réduction de Gauss ?

Une matrice diagonale. Une matrice orthogonale. La matrice $A$ d’origine. Une matrice de Jordan.

7. Le rang $r$ de la forme quadratique $q$ est égal à :

$n_0$ $n_+ – n_-$ $n_+ + n_-$ $n_+ \times n_-$

8. La forme $q$ est définie positive si et seulement si sa signature $(n_+, n_-, n_0)$ est :

$(n, 0, 0)$ $(n_+, n_-, 0)$ avec $n_+ \neq 0$ et $n_- \neq 0$ $(0, n, 0)$ $(n, 0, 1)$

9. La réduction de Gauss est-elle toujours équivalente à la diagonalisation orthogonale par le Théorème Spectral ?

Oui, toujours. Non, Gauss ne garantit pas une base orthogonale, seulement des formes linéaires indépendantes. Seulement si la matrice est inversible. Seulement si la forme quadratique est définie positive.

10. Quel est le seul invariant de la forme quadratique par changement de base (congruence) ?

La trace de la matrice $A$. Le déterminant de la matrice $A$. La signature $(n_+, n_-, n_0)$. Le polynôme caractéristique.

Quiz : Réduction de Gauss d’une forme quadratique

Le But : La Forme Canonique

Conclusion