Test : Signature d’une forme quadratique (Loi de Sylvester)

1. Dans la signature $(n_+, n_-, n_0)$ d’une forme quadratique, $n_-$ représente :

Le nombre de valeurs propres strictement négatives. Le rang de la forme moins $n_+$. Le nombre de termes carrés avec un coefficient strictement négatif dans la forme canonique de Gauss. La dimension du noyau de la forme.

2. Qu’est-ce que la Loi d’Inertie de Sylvester garantit pour la signature $(n_+, n_-, n_0)$ ?

Que la somme $n_+ + n_-$ est constante. Que la signature est la même, quel que soit la base orthogonale ou la méthode de réduction choisie. Que $n_+$ est toujours supérieur ou égal à $n_-$. Que la matrice finale est forcément la matrice identité.

3. Le rang $r$ de la forme quadratique $q$ est donné par :

$r = n_+ – n_-$ $r = n_0$ $r = n_+ + n_-$ $r = n – n_0$

4. Le terme $n_0$ dans la signature $(n_+, n_-, n_0)$ correspond à la dimension de :

L’espace tout entier $\mathbb{R}^n$. Le sous-espace où la forme est définie positive. Le radical de la forme (noyau de la matrice associée). L’image de la forme.

5. Une forme quadratique sur $\mathbb{R}^n$ est définie positive si et seulement si sa signature est :

$(n, 0, 0)$ $(n-1, 1, 0)$ $(0, n, 0)$ $(n, 0, 1)$

6. Une forme quadratique est dite indéfinie si :

$q(\mathbf{x})$ prend toujours une valeur non négative. Elle peut prendre à la fois des valeurs positives et négatives. $n_0 \neq 0$. Son rang est nul.

7. Une forme est semi-définie positive si $q(\mathbf{x}) \ge 0$ pour tout $\mathbf{x}$, et si :

$n_- > 0$ $n_0 = 0$ $n_0 > 0$ $n_+ = 0$

8. Une forme $q$ est dite non dégénérée (ou non singulière) si et seulement si :

$n_0 = 0$ (le rang est maximal). $n_+ = 0$ et $n_- = 0$. $n_+ = n_-$. $n_0 = n$ (la forme est nulle).

9. Vrai ou Faux : Si $A$ est symétrique, la signature $(n_+, n_-, n_0)$ est identique au nombre de valeurs propres positives, négatives et nulles de $A$.

Vrai Faux

10. Si $A’$ et $A$ sont congruentes (matrice de $q$ dans deux bases différentes), alors :

$A’$ et $A$ ont la même trace et le même déterminant. $A’$ et $A$ ont les mêmes valeurs propres. $A’$ et $A$ ont la même signature. Le produit $A’A$ est l’identité.

Quiz : Signature d’une forme quadratique (Loi de Sylvester)

Loi d’Inertie de Sylvester

Conclusion